Кинетическая энергия системы частиц. Основной закон релятивистской динамики

Второй закон Ньютона гласит, что производная импульса частицы (материальной точки) по времени равна результирующей силе, действующей на частицу (см. формулу (9.1)). Уравнение второго закона оказывается инвариантным относительно преобразований Лоренца, если под импульсом подразумевать величину (67.5). Следовательно, релятивистское выражение Второго закона Ньютона имеет вид

Следует иметь в виду, что соотношение в релятивистском случае неприменимо, причем ускорение w и сила F, вообще говоря, оказываются неколлинеарными.

Заметим, что импульс, ни сила не являются инвариантными величинами. Формулы преобразования компонент импульса при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой будут получены в следующем параграфе. Формулы преобразования компонент силы мы дадим без. вывода:

( скорость частицы в системе К). Если в системе К действующая на частицу сила F перпендикулярна к скорости частицы V, скалярное произведение FV равно нулю и первая из формул (68.2) упрощается следующим образом:

Чтобы найти релятивистское выражение для энергии, поступим так же, как мы поступили в § 19. Умножим уравнение (68.1) на перемещение частицы . В результате получим

Правая часть этого соотношения дает работу совершаемую над частицей за время . В § 19 было показано, что работа результирующей всех сил идет на приращение кинетической энергии частицы (см. формулу ). Следовательно, левая часть соотношения должна быть истолкована как приращение кинетической энергий Т частицы за время . Таким образом,

Преобразуем полученное выражение, приняв во внимание, что (см. (2.54)):

Интегрирование полученного соотношения дает

(68.4)

По смыслу кинетической энергии она должна обращаться в нуль при Отсюда для константы получается значение, равное Следовательно, релятивистское выражение для кинетической энергии частицы имеет вид

В случае малых скоростей формулу (68.5) можно преобразовать следующим образом:

Мы пришли к ньютоновскому выражению для кинетической энергии частицы. Этого и следовало ожидать, поскольку при скоростях, много меньших скорости света, все формулы релятивистской механики должны переходить в соответствующие формулы ньютоновской механики.

Рассмотрим свободную частицу (т. е. частицу, не подверженную действию внешних сил), движущуюся со скоростью v. Мы выяснили, что эта частица обладает кинетической энергией, определяемой формулой (68.5). Однако имеются основания (см. ниже) приписать свободной частице, кроме кинетической энергии (68.5), дополнительную энергию, равную

Таким образом, полная энергия свободной частицы определяется выражением . Приняв во внимание (68.5), получим, что

При выражение (68.7) переходит в (68.6). Поэтому называют энергией покоя. Эта энергия представляет собой внутреннюю энергию частицы, не связанную с движением частицы как целого.

Формулы (68.6) и (68.7) справедливы не только для элементарной частицы, но и для сложного тела, состоящего из многих частиц. Энергия такого тела содержит в себе, помимо энергий покоя входящих в его состав частиц также кинетическую энергию частиц (обусловленную их движением относительно центра масс тела) энергию их взаимодействия друг с другом. В энергию покоя, как и в полную энергию (68.7), не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле.

Исключив из уравнений (67.5) и (68.7) скорость v (уравнение. (67.5) нужно взять в скалярном виде), получим выражение полной энергии частицы через импульс р:

В случае, когда эту формулу можно представить в виде

Полученное выражение отличается от ньютоновского выражения для кинетической энергии слагаемым

Заметим, что из сопоставления выражений (67.5): и (68.7) вытекает формула

Поясним, почему свободной частице следует приписывать энергию (68.7), а не только кинетическую энергию (68.5). Энергия по своему смыслу должна быть сохраняющейся величиной. Соответствующее рассмотрение показывает, что при столкновениях частиц сохраняется сумма (по частицам) выражений вида (68.7), в то время как сумма выражений (68.5) оказывается несохраняющейся. Невозможно удовлетворить требованию сохранения энергии во всех инерциальных системах отсчета, если не учитывать энергию покоя (68.6) в составе полной энергии.

Кроме того, из выражения (68.7) для энергии и выражения (67.5) для импульса удается образовать инвариант, т. е. величину, не изменяющуюся при преобразованиях Лоренца. Действительно, из формулы (68.8) вытекает, что

(68.11)

(напомним, что масса m и скорость с являются инвариантными величинами). Эксперименты над быстрыми частицами подтверждают инвариантность величины (68.11)

Если под Е в (68.11) понимать кинетическую энергию (68.5), выражение (68.11) оказывается не инвариантным.

Получим еще одно выражение для релятивистской энергии. Из формулы (64.3) следует, что

где промежуток времени между двумя происходящими с частицей событиями, отсчитанный по часам той системы отсчета, относительно которой частица движется со скоростью - тот же промежуток времени, отсчитанный по часам, движущимся вместе с частицей (промежуток собственного времени). Подставив (68.12) в формулу (68.7), получим выражение

(68.13)

Этой формулой мы воспользуемся в следующем параграфе.

Релятивистский импульс: .

Кинетическая энергия релятивистской частицы: .

Релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом: .

Теорема сложения скоростей в релятивистской механике: ,

где u и – скорости в двух инерциальных системах отсчета, движущихся относительно друг друга со скоростью , совпадающей по направлению с u (знак «-») или противоположно ей направленной (знак «+»).

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

Количество вещества: ,

где N – число молекул, N A – постоянная Авогадро, m – масса вещества, m – молярная масса.

Уравнение Клайперона-Менделеева: ,

где P – давление газа, V – его объем, R – малярная газовая постоянная, T – абсолютная температура.

Уравнение молекулярно-кинетической теории газа: ,

где n – концентрация молекул, – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы, m 0 – масса молекулы, – средняя квадратичная скорость.

Средняя энергия молекулы: ,

где i – число степеней свободы, k – постоянная Больцмана.

Внутренняя энергия идеального газа: .

Скорости молекул:

средняя квадратичная: ,

средняя арифметическая: ,

наиболее вероятная: .

Средняя длина свободного пробега молекулы: ,

где d – эффективный диаметр молекулы.

Среднее число столкновений молекулы в единицу времени:

.

Распределение молекул в потенциальном поле сил: ,

где П – потенциальная энергия молекулы.

Барометрическая формула: .

Уравнение диффузии: ,

где D – коэффициент диффузии, r – плотность, dS – элементарная площадка, перпендикулярная к направлению вдоль которого происходит диффузия.

Уравнение теплопроводности: , æ ,

где æ – теплопроводность.

Сила внутреннего трения: ,

где h – динамическая вязкость.

Коэффициент диффузии: .

Вязкость (динамическая): .

Теплопроводность: æ ,

где С V – удельная изохорная теплоемкость.

Молярная теплоемкость идеального газа:

изохорная: ,

изобарная: .

Первое начало термодинамики:

Работа расширения газа при процессе:

изобарном: ,

изотермическом: ,

изохорном:

адиабатном: ,

Уравнения Пуассона:

Коэффициент полезного действия цикла Карно: ,

где Q и T – количество теплоты, полученное от нагревателя, и его температура; Q 0 и Т 0 – количество теплоты, переданное холодильнику, и его температура.

Изменение энтропии при переходе из состояния 1в состояние 2: .

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1.Движение тела массой 1 кг задано уравнением s = 6t 3 + 3t + 2 . Найти зависимость скорости и ускорения от времени. Вычислить силу, действующую на тело в конце второй секунды.

Решение . Мгновенную скорость находим как производную от пути по времени: , . Мгновенное ускорение определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени: , . Сила, действующая на тело, определяется по второму закону Ньютона: , где , согласно условию задачи, ускорение в конце второй секунды. Тогда , Н.

Ответ: , , Н.

2. Стержень длиной 1 м движется мимо наблюдателя со скоростью на 20% меньше скорости света. Какой покажется наблюдателю его длина?

Решение . Зависимость длины тела от скорости в релятивистской механике выражается формулой: , где l 0 – длина покоящегося стержня; – скорость его движения; с – скорость света в вакууме. Подставляя в формулу для l 0 числовые значения, имеем: l = 0,6 м.

Ответ: l = 0,6 м.

3. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями: 1) = 0,5с и u = 0,75с ; 2) = с и u = 0,75с . Найти их относительную скорость в первом и втором случаях.

Решение . Согласно теореме о сложении скоростей тел, движущихся навстречу друг другу, в теории относительности: , где , u – скорости соответственно первого и второго тел; – их относительная скорость; с – скорость света в вакууме. Для первого и второго случаев находим:

Это подтверждает, что, во-первых, ни в какой инерциальной системе отсчета скорость процесса не может превзойти скорость света, и, во-вторых, скорость распространения света в вакууме абсолютна.

Ответ: = 0,91с ; = с .

4. На двух шнурах одинаковой длины, равной 0,8 м, подвешены два свинцовых шара массами 0,5 и 1 кг. Шары соприкасаются между собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнур отклонился на угол a=60°, и отпустили. На какую высоту поднимутся оба шара после столкновения? Удар считать центральным и неупругим. Определить энергию, израсходованную на деформацию шаров при ударе.

Решение . Так как удар шаров неупругий, то после удара шары будут двигаться с общей скоростью u . Закон сохранения количества движения при этом ударе имеет вид:

Здесь и – скорости шаров до удара. Скорость большого шара до удара равна нулю ( = 0). Скорость меньшего шара найдем, используя закон сохранения энергии. При отклонении меньшего шара на угол ему сообщается потенциальная энергия, которая затем переходит в кинетическую: . Следовательно: . Из геометрических построений следует: , поэтому:

. (2)

Из уравнений (1) и (2) находим скорость шаров после удара:

. (3)

Кинетическая энергия, которой обладают шары после удара, переходит в потенциальную:

, (4)

где h – высота поднятия шаров после столкновения. Из формулы (4) находим ,или с учетом (3) и подставив числовые данные получим h = 0,044 м. При неупругом ударе шаров часть энергии расходуется на их деформацию. Энергия деформации определяется разностью кинетических энергий до и после удара:

. Используя уравнения (2) и (3), получаем: , Дж.

Ответ: h = 0,044 м, DE Д = 1,3 Дж.

5.Молот массой 70 кг падает с высоты 5 м и ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием 1330 кг. Считая удар абсолютно неупругим, определить энергию, расходуемую на деформацию изделия. Систему молот–изделие–наковальня считать замкнутой.

Решение . По условию задачи, система молот–изделие–наковальня считается замкнутой, а удар неупругий. На основании закона сохранения энергии можно считать, что энергия, затраченная на деформацию изделия, равна разности значений механической энергии системы до и после удара. Считаем, что во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, т. е. незначительным перемещением тел по вертикали во время удара пренебрегаем. Тогда для энергии деформации изделия имеем:

, (1)

где – скорость молота в конце падения с высоты h ; – общая скорость всех тел системы после неупругого удара. Скорость молота в конце падения с высоты h определяется без учета сопротивления воздуха и трения по формуле:

Общую скорость всех тел системы после неупругого удара найдем, применив закон сохранения количества движения: . Для рассматриваемой системы закон сохранения количества движения имеет вид , откуда:

Подставив в формулу (1) выражения (2) и (3), получим: , Дж.

Ответ: Дж.

6. Тело массой 1 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от времени задана уравнением s = 2t 2 +4t+1 . Определить работу силы за 10 сек от начала ее действия и зависимость кинетической энергии от времени.

Решение . Работа, совершаемая силой, выражается через криволинейный интеграл:

Сила, действующая на тело, из II закона Ньютона равна: или (мгновенное значение ускорения определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени). В соответствии с этим находим:

Из выражения (2) определим ds :

Подставив (4) и (5) в уравнение (1), получим: По этой формуле определим работу, совершаемую силой за 10 сек от начала ее действия: , А = 960 Дж. Кинетическая энергия определяется по формуле:

Подставляя (2) в (6), имеем: .

Ответ: А = 960 Дж, Т = m(8t 2 +16t+8) .

7. Протон движется со скоростью 0,7с (с – скорость света). Найти количество движения и кинетическую энергию протона.

Решение . Количество движения протона определяется по формуле:

Так как скорость протона сравнима со скоростью света, то необходимо учесть зависимость массы от скорости, воспользовавшись релятивистским выражением для массы:

где m – масса движущегося протона; m 0 =1,67×10 -27 кг – масса покоя протона; v – скорость движения протона; c = 3×10 8 м/с – скорость света в вакууме; v/c = b – скорость протона, выраженная в долях скорости света. Подставляя уравнение (2) в (1) получаем: , кг×м/с. В релятивистской механике кинетическая энергия частицы определяется как разность между полной энергией Е и энергией покоя Е 0 этой частицы:

. (3)

Ответ: p = 4,91×10 -19 кг ×м/с, Т = 0,6×10 -10 Дж.

8. Тонкий стержень вращается с угловой скоростью 10 с -1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. В процессе вращения в той же плоскости стержень перемещается так, что ось вращения проходит через его конец. Найти угловую скорость после перемещения.

Решение . Используем закон сохранения момента импульса: , где J i , – момент инерции стержня относительно оси вращения. Для изолированной системы тел векторная сумма моментов импульса остается постоянной. В данной задаче вследствие того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется, момент инерции стержня также изменится. В соответствии с законом сохранения момента импульса запишем:

Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, равен:

По теореме Штейнера: где J – момент инерции тела относительно произвольной оси вращения; J 0 – момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс; d – расстояние от центра масс до выбранной оси вращения. Найдем момент инерции относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню:

. (3)

Подставляя, формулы (2) и (3) в (1), имеем: , откуда .

Ответ: w 2 = 2,5 c -1 .

9. Маховик массой 4 кг вращается с частотой 720 мин -1 вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. Массу маховика можно считать равномерно распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое сделает маховик до полной остановки.

Решение . Для определения тормозящего момента М сил, действующих на тело, нужно применить основное уравнение динамики вращательного движения:

где J – момент инерции маховика относительно оси, проходящей через центр масс; – изменение угловой скорости за промежуток времени . По условию, , где – начальная угловая скорость, так как конечная угловая скорость = 0. Выразим начальную угловую скорость через частоту вращения маховика; тогда и Момент инерции маховика , где m – масса маховика; R – его радиус. Формула (1) принимает вид: откуда М = -1,61 Н×м. Знак «-» говорит о том, что момент томозящий.

Угол поворота (т. е. угловой путь ) за время вращения маховика до остановки может быть определен по формуле для равнозамедленного вращения:

где – угловое ускорение. По условию, , , . Тогда выражение (2) можно записать так: . Так как j = 2pN , w 0 = 2pn , то число полных оборотов маховика: .

Ответ: М = 1,61 Н×м, N = 180.

10. В сосуде объемом 2 м 3 находится смесь 4 кг гелия и 2 кг водорода при температуре 27 °С. Определить давление и молярную массу смеси газов.

Решение. Воспользуемся уравнением Клайперона-Менделеева, применив его к гелию и водороду:

где P 1 – парциальное давление гелия; m 1 – масса гелия; – его молярная масса; V – объем сосуда; Т – температура газа; R = 8,31 Дж/(моль×К) – молярная газовая постоянная; P 2 - парциальное давление водорода; m 2 – масса водорода; – его молярная масса. Под парциальным давлением P 1 и P 2 понимается то давление, которое производил бы газ, если бы он находился в сосуде один. По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси:

Из уравнения (1) и (2) выразим P 1 и P 2 и подставим в уравнение (3). Имеем:

. (4)

Молярную массу смеси газов найдем по формуле: , где v 1 и v 2 – число молей гелия и водорода соответственно. Число молей газов определим по формулам: и . Тогда: . Подставляя числовые значения получаем: P = 2493 КПа и = 3×10 -3 кг/моль.

Ответ: P = 2493 КПа, =3×10 -3 кг/моль.

11. Чему равны средние кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К?

Решение . Считаем водород идеальным газом. Молекула водорода двухатомная, связь между атомами считаем жесткой. Тогда число степеней свободы молекулы водорода равно 5, три из которых поступательные и две вращательные. В среднем на одну степень свободы приходится энергия , где k – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура. Для одной молекулы: и . Число молекул, содержащихся в массе газа: . Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул двух килограмм водорода: . Средняя кинетическая энергия вращательного движения этих же молекул: . Подставляя числовые значения имеем: =4986 КДж и =2324 КДж.

Ответ: =4986 КДж, =2324 КДж.

12. Определить среднюю длину свободного пробега молекул и число соударений за 1 с, происходящих между всеми молекулами кислорода, находящегося в сосуде емкостью 2 л при температуре 27 0 С и давлении 100 кПа.

Решение . Средняя длина свободного пробега молекул кислорода вычисляется по формуле: , где d – эффективный диаметр молекулы кислорода; n – число молекул в единице объема, которое можно определить из уравнения: , где k – постоянная Больцмана. Таким образом, имеем: . Число соударений Z , происходящих между всеми молекулами за 1 с, равно: , где N – число молекул кислорода в сосуде объемом 2×10 -3 м3 ; – среднее число соударений одной молекулы за 1 с. Число молекул в сосуде: . Среднее число соударений молекулы за 1 с равно: , где <V > – средняя арифметическая скорость молекулы. Тогда выражение для Z перепишется как: . Подставляя числовые значения, получим: Z

Ответ: Z = 9×10 28 с -1 , = 3,56×10 8 м.

13. Определить коэффициенты диффузии и внутреннего трения азота, находящегося при температуре Т = 300 К и давлении 10 5 Па.

Решение . Коэффициент диффузии определяется по формуле: , где <V > – средняя арифметическая скорость молекул, – средняя длина свободного пробега молекул. Для нахождения воспользуемся формулой из решения примера 12: . Выражение для коэффициента диффузии примет вид: . Коэффициент внутреннего трения: , где r – плотность газа при температуре 300 К и давлении 10 5 Па. Для нахождения r воспользуемся уравнением состояния идеального газа. Запишем его для двух состояний азота: при нормальных условиях Т 0 =273 К, P =1,01×10 5 Па и в условиях задачи: и . Учитывая, что и , имеем: . Коэффициент внутреннего трения газа может быть выражен через коэффициент диффузии: . Подставляя числовые значения, получим: D = 4,7×10 5 м 2 /с и h = 5,23×10 -5 кг/(м×с).

Ответ: D = 4,7×10 5 м 2 /с и h = 5,23×10 -5 кг/(м×с).

14. Кислород массой 160 г нагревают при постоянном давлении от 320 до 340 К. Определить количество теплоты, поглощенное газом, изменение внутренней энергии и работу расширения газа.

Решение . Количество теплоты, необходимое для нагревания газа при постоянном давлении: . Здесь с р и С р – удельная и молярная теплоемкости газа при постоянном давлении; m =32×10 -3 кг/моль – молярная масса кислорода. Для всех двухатомных газов: , Дж/(моль×К). Изменение внутренней энергии газа находим по формуле: , где С V – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Для всех двухатомных газов: С V = = 5/ 2×R; С V = 20,8 Дж/(моль×К). Работа расширения газа при изобарном процессе: , где – изменение объема газа, которое можно найти из уравнения Клайперона–Менделеева. При изобарном процессе: и . Почленным вычитанием выражений находим: , следовательно: . Подставляя числовые значения, получаем: Дж, Дж, Дж.

Ответ: Дж, Дж, Дж.

15. Объем аргона, находящегося при давлении 80 кПа, увеличился от 1 до 2 л. На сколько изменится внутренняя энергия газа, если расширение производилось: а) изобарно; б) адиабатно.

Решение . Применим первый закон термодинамики. Согласно этому закону, количество теплоты Q , переданное системе, расходуется на увеличение внутренней энергии и на внешнюю механическую работу А : . Величину системы можно определить, зная массу газа, удельную теплоемкость при постоянном объеме с V и изменение температуры : . Однако удобнее изменение внутренней энергии определять через молярную теплоемкость С V , которая может быть выражена через число степеней свободы: . Подставляя величину С V получаем: . Изменение внутренней энергии зависит от характера процесса, при котором идет расширение газа. При изобарном расширении газа, согласно первому закону термодинамики, часть количества теплоты идет на изменение внутренней энергии . Найти для аргона по полученной формуле нельзя, так как масса газа и температура в условии задачи не даны. Поэтому необходимо провести преобразование этой формулы. Запишем уравнение Клайперона-Менделеева для начального и конечного состояний газа: и , или . Тогда: . Это уравнение является расчетным для определения при изобарном расширении. При адиабатном расширении газа теплообмена с внешней средой не происходит, поэтому Q = 0. Первое начало термодинамики запишется в виде: . Это соотношение устанавливает, что работа расширения газа может быть произведена только за счет уменьшения внутренней энергии газа (знак минус перед ): . Формула работы для адиабатного процесса имеет вид: , где g – показатель адиабаты, равный: . Для аргона – одноатомного газа (i = 3) – имеем g =1,67. Находим изменение внутренней энергии при адиабатном процессе для аргона: . Для определения работы расширения аргона формулу для следует преобразовать, учитывая параметры, данные в условии задачи. Применив уравнение Клайперона-Менделеева для данного случая , получим выражение для подсчета изменения внутренней энергии: . Подставляя числовые значения, имеем: а) при изобарном расширении Дж; б) при адиабатном расширении Дж.

Ответ: а) =121 Дж; б) = -44,6 Дж.

16. Температура нагревателя тепловой машины 500 К. Температура холодильника 400 К. Определить к.п.д. тепловой машины, работающей по циклу Карно, и полную мощность машины, если нагреватель ежесекундно передает ей 1675 Дж теплоты.

Решение . Коэффициент полезного действия машины определяется по формуле: или . Из этих выражений находим: . Произведем вычисления: A = 335 Дж. Эта работа совершается за 1 с, следовательно, полная мощность машины равна 335 Вт.

Ответ: = 0,2, N =335 Вт.

17. Горячая вода некоторой массы отдает теплоту холодной воде такой же массы и температуры их становятся одинаковыми. Показать, что энтропия при этом увеличивается.

Решение . Пусть температура горячей воды Т 1 , холодной Т 2 , а температура смеси . Определим температуру смеси, исходя из уравнения теплового баланса: или , откуда: . Изменение энтропии, происходящее при охлаждении горячей воды: . Изменение энтропии, происходящее при нагревании холодной воды: . Изменение энтропии системы равно: или ; так как и 4T 1 T 2 >0, то .

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

101. Под действием какой силы при прямолинейном движении тела изменение его координаты со временем происходит по закону х = 10 + 5t - - 10t 2 ? Масса тела 2 кг.

102. Найти закон движения тела массой 1 кг под действием постоянной силы 10 Н, если в момент t = 0 тело покоилось в начале координат (х = 0 ).

103. Найти закон движения тела массой 1 кг под действием постоянной силы 1 Н, если в момент t = 0 начальная координата х = 0 и v 0 = 5м/с.

104. Найти закон движения тела массой 1 кг под действием постоянной силы 2 Н, если в момент t = 0 имеем х 0 = 1 м и v 0 =2 м/с.

105. Тело массой 2 кг движется с ускорением, изменяющимся по закону а = 5t-10 . Определить силу, действующую на тело через 5 с после начала действия, и скорость в конце пятой секунды.

106. Сплошной шар массой 1 кг и радиусом 5 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Закон вращения шара выражается уравнением . В точке, наиболее удаленной от оси вращения, на шар действует сила, касательная к поверхности. Определить эту силу и тормозящий момент.

107. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны 100 м. Закон движения автомобиля выражается уравнением . Найти скорость автомобиля, его тангенциальное, нормальное и полное ускорения в конце пятой секунды.

108. Материальная точка движется по окружности, радиус которой 20 м. Зависимость пути, пройденного точкой, от времени выражается уравнением . Определить пройденный путь, угловую скорость и угловое ускорение точки через 3 с от начала ее движения.

109. Материальная точка движется по окружности радиуса 1 м согласно уравнению . Найти скорость, тангенциальное, нормальное и полное ускорение в момент времени 3 с.

110. Тело вращается равноускоренно с начальной угловой скоростью 5 c -1 и угловым ускорением 1 рад/с 2 . Сколько оборотов сделает тело за 10 с?

111. Параллелепипед размером 2x2x4 см 3 движется параллельно большему ребру. При какой скорости движения он будет казаться кубом.

112. Какую скорость должно иметь движущееся тело, чтобы его продольные размеры уменьшились в два раза?

113. π-мезон – нестабильная частица. Собственное время жизни его 2,6×10 -8 с. Какое расстояние пролетит π-мезон до распада, если он движется со скоростью 0,9с ?

114. Найти собственное время жизни нестабильной частицы -мезона, движущегося со скоростью 0,99с , если расстояние, пролетаемое им до распада, равно 0,1 км.

115. Собственное время жизни π-мезона 2,6×10 -8 с. Чему равно время жизни π-мезона для наблюдателя, относительно которого эта частица движется со скоростью 0,8с ?

116. Электрон, скорость которого 0,9с , движется навстречу протону, имеющему скорость 0,8с

117. Радиоактивное ядро, вылетевшее из ускорителя со скоростью 0,8с , выбросило в направлении своего движения -частицу со скоростью 0,7с относительно ускорителя. Найти скорость частицы относительно ядра.

118. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростью 0,8с . Определить скорость их относительного движения.

119. При какой скорости движения релятивистское сокращение длины движущегося тела составит 25%.

120. Какую скорость должно иметь движущееся тело, чтобы его продольные размеры уменьшились на 75%.

121. Сплошной цилиндр массой 0,1 кг катится без скольжения с постоянной скоростью 4 м/с. Определить кинетическую энергию цилиндра, время до его остановки, если на него действует сила трения 0,1 Н.

122. Сплошной шар скатывается по наклонной плоскости, длина которой 1 м и угол наклона 30°. Определить скорость шара в конце наклонной плоскости. Трение шара о плоскость не учитывать.

123. Полый цилиндр массой 1 кг катится по горизонтальной поверхности со скоростью 10 м/с. Определить силу, которую необходимо приложить к цилиндру, чтобы остановить его на пути 2 м.

124. Маховик, имеющий форму диска массой 10 кг и радиусом 0,1 м, был раскручен до частоты 120 мин -1 . Под действием силы трения диск остановился через 10с . Найти момент сил трения, считая его постоянным.

125. Обруч и диск скатываются с наклонной плоскости, составляющей угол 30° с горизонтом. Чему равны их ускорения в конце спуска? Силой трения пренебречь.

126. С покоящимся шаром массой 2 кг сталкивается такой же шар, движущийся со скоростью 1 м/с. Вычислить работу, совершенную вследствие деформации при прямом центральном неупругом ударе.

127. Масса снаряда 10 кг, масса ствола орудия 500 кг. При выстреле снаряд получает кинетическую энергию 1,5×10 6 Дж. Какую кинетическую энергию получает ствол орудия вследствие отдачи?

128. Конькобежец массой 60 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой 2 кг со скоростью 10 м/с. На какое расстояние откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед 0,02.

129. Молекула водорода, двигающаяся со скоростью 400 м/с, подлетает к стенке сосуда под углом 60° и упруго ударяется о нее. Определить импульс, полученный стенкой. Принять массу молекул равной 3×10 -27 кг.

130. Стальной шарик массой 50 г упал с высоты 1 м на большую плиту, передав ей импульс силы, равный 0,27 Н×с. Определить количество теплоты выделевшуюся при ударе и высоту, на которую поднимается шарик.

131. С какой скоростью движется электрон, если его кинетическая энергия 1,02 МэВ? Определить импульс электрона.

132. Кинетическая энергия частицы оказалась равной ее энергии покоя. Какова скорость этой частицы?

133. Масса движущегося протона 2,5×10 -27 кг. Найти скорость и кинетическую энергию протона.

134. Протон прошел ускоряющую разность потенциалов в 200 МВ. Во сколько раз его релятивистская масса больше массы покоя? Чему равна скорость протона?

135. Определить скорость электрона, если его релятивистская масса в три раза больше массы покоя. Вычислить кинетическую и полную энергию электрона.

136. Вычислить скорость, кинетическую и полную энергию протона в тот момент, когда его масса равна массе покоя -частицы.

137. Найти импульс, полную и кинетическую энергию электрона, движущегося со скоростью, равной 0,7с .

138. Протон и -частица проходят одинаковую ускоряющую разность потенциалов, после чего масса протона составила половину массы покоя -частицы. Определить разность потенциалов.

139. Найти импульс, полную и кинетическую энергию нейтрона, движущегося со скоростью 0,6с .

140. Во сколько раз масса движущегося дейтрона больше массы движущегося электрона, если их скорости соответственно равны 0,6с и 0,9с . Чему равны их кинетические энергии.

141. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения всех молекул, содержащихся в 0,20 г водорода при температуре 27 °С.

142. Давление идеального газа 10 мПа, концентрация молекул 8×10 10

см -3 . Определить среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы и температуру газа.

143. Определить среднее значение полной кинетической энергии одной молекулы аргона и водяного пара при температуре 500 К.

144. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа равна 15×10 -21 Дж. Концентрация молекул равна 9×10 19 см -3 . Определить давление газа.

145. В баллоне емкостью 50 л находится сжатый водород при 27 °С. После того как часть воздуха выпустили, давление понизилось на 10 5 Па. Определить массу выпущенного водорода. Процесс считать изотермическим.

146. В сосуде, имеющем форму шара, радиус которого 0,1 м, находится 56 г азота. До какой температуры можно нагреть газ, если стенки сосуда выдерживают давление 5·10 5 Па?

147. При температуре 300 К и давлении 1,2×10 5 Па плотность смеси водорода и азота 1 кг/м 3 . Определить молярную массу смеси.

148. В баллоне емкостью 0,8 м 3 находится 2 кг водорода и 2,9 кг азота. Определить давление смеси, если температура окружающей среды 27 °С.

149. До какой температуры можно нагреть запаянный сосуд, содержащий 36 г воды, чтобы он не разорвался, если известно, что стенки сосуда выдерживают давление 5×10 6 Па. Объем сосуда 0,5 л.

150. При температуре 27 °С и давлении 10 6 Па плотность смеси кислорода и азота 15 г/дм 3 . Определить молярную массу смеси.

151. В сосуде емкостью 1 л содержится кислород массой 32 г. Определить среднее число соударений молекул в секунду при температуре 100 К.

152. Определить среднюю длину и среднюю продолжительность свободного пробега молекул углекислого газа при температуре 400 К и давлении 1,38 Па.

153. В сосуде емкостью 1 л находится 4,4 г углекислого газа. Определить среднюю длину свободного пробега молекул.

154. Определить коэффициент диффузии гелия при давлении 1·10 6 Па и температуре 27 °С.

155. Определить коэффициент внутреннего трения кислорода при температуре 400 К.

156. В сосуде емкостью 5 л содержится 40 г аргона. Определить среднее число соударений молекул в секунду при температуре 400 К.

157. Определить коэффициент внутреннего трения воздуха при температуре 100 К.

158. Определить коэффициент диффузии азота при давлении 0,5×10 5 Па и температуре 127 °С.

159. Коэффициент внутреннего трения кислорода при нормальных условиях 1,9×10 -4 кг/м×с. Определить коэффициент теплопроводности кислорода.

160. Коэффициент диффузии водорода при нормальных условиях

9,1×10 -5 м 2 /с. Определить коэффициент теплопроводности водорода.

161. Определить, какое количество теплоты необходимо сообщить аргону массой 400 г, чтобы нагреть его на 100 К: а) при постоянном объеме; б) при постоянном давлении.

162. Во сколько раз увеличится объем 2 молей кислорода при изотермическом расширении при температуре 300 К, если при этом газу сообщили 4 кДж теплоты.

163. Какое количество теплоты нужно сообщить 2 молям воздуха, чтобы он совершил работу в 1000 Дж: а) при изотермическом процессе; б) при изобарическом процессе.

164. Найти работу и изменение внутренней энергии при адиабатном расширении 28 г азота, если его объем увеличился в два раза. Начальная температура азота 27 °С.

165. Кислород, занимающий объем 10 л и находящийся под давлением 2·10 5 Па, адиабатно сжат до объема 2 л. Найти работу сжатия и изменение внутренней энергии кислорода.

166. Определить количество теплоты, сообщенное 88 г углекислого газа, если он был изобарически нагрет от 300 К до 350 К. Какую работу при этом может совершить газ и как изменится его внутренняя энергия?

167. При каком процессе выгоднее производить расширение воздуха: изобарическом или изотермическом, если объем увеличивается в пять раз. Начальная температура газа в обоих случаях одинаковая.

168. При каком процессе выгоднее производить нагревание 2 молей аргона на 100 К: а) изобарическом; б) изохорическом.

169. Азоту массой 20 г при изобарическом нагревании сообщили 3116 Дж теплоты. Как изменилась температура и внутренняя энергия газа.

170. При изотермическом расширении одного моля водорода была затрачена теплота 4 кДж, при этом объем водорода увеличился в пять раз. При какой температуре протекает процесс? Чему равно изменение внутренней энергии газа, какую работу совершает газ?

171. Определить изменение энтропии 14 г азота при изобарном нагревании его от 27 °С до 127 °С.

172. Как изменится энтропия 2 молей углекислого газа при изотермическом расширении, если объем газа увеличивается в четыре раза.

173. Совершая цикл Карно, газ отдал холодильнику 25% теплоты, полученной от нагревателя. Определить температуру холодильника, если температура нагревателя 400 К.

174. Тепловая машина работает по циклу Карно, к.п.д. которого 0,4. Каков будет к.п.д. этой машины, если она будет совершать тот же цикл в обратном направлении?

175. Холодильная машина работает по обратному циклу Карно, к.п.д. которого 40%. Каков будет к.п.д. этой машины, если она работает по прямому циклу Карно.

176. При прямом цикле Карно тепловая машина совершает работу 1000 Дж. Температура нагревателя 500 К, температура холодильника 300 К. Определить количество теплоты, получаемое машиной от нагревателя.

177. Найти изменение энтропии при нагревании 2 кг воды от 0 до 100 °С и последующем превращении ее в пар при той же температуре.

178. Найти изменение энтропии при плавлении 2 кг свинца и дальнейшем его охлаждении от 327 до 0 °С.

179. Определить изменение энтропии, происходящее при смешивании 2 кг воды, находящейся при температуре 300 К, и 4 кг воды при температуре 370 К.

180. Лед массой 1 кг, находящийся при температуре 0 °С, нагревают до температуры 57 °С. Определить изменение энтропии.

Второе начало термодинамики. Энтропия. Энергия Гиббса. Прогнозирование направления самопроизвольно протекающих процессов

Гармонично структурированная энергия сама себя защищает.

Теория относительности требует пересмотра и уточнения законов механики. Как мы видели, уравнения классической динамики (второй закон Ньютона) удовлетворяют принципу относительности в отношении преобразований Галилея. Но ведь преобразования Галилея должны быть заменены преобразованиями Лоренца! Поэтому уравнения динамики следует изменить так, чтобы они оставались неизменными при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой согласно преобразованиям Лоренца. При малых скоростях уравнения релятивистской динамики должны переходить в классические, ибо в этой области их справедливость подтверждается на опыте.

Импульс и энергия. В теории относительности, как и в классической механике, для замкнутой физической системы сохраняются импульс и энергия Е, однако релятивистские выражения для них отличаются от соответствующих классических:

здесь - масса частицы. Это масса в той системе отсчета, где частица покоится. Часто ее называют массой покоя частицы. Она совпадает с массой частицы в нерелятивистской механике.

Можно показать, что выражаемая формулами (1) зависимость импульса и энергии частицы от ее скорости в теории относительности с неизбежностью следует из релятивистского эффекта замедления времени в движущейся системе отсчета. Это будет сделано ниже.

Релятивистские энергия и импульс (1) удовлетворяют уравнениям, аналогичным соответствующим уравнениям классической механики:

Релятивистская масса. Иногда коэффициент пропорциональности в (1) между скоростью частицы и ее импульсом

называют релятивистской массой частицы. С ее помощью выражения (1) для импульса и энергии частицы можно записать в компактном виде

Если релятивистской частице, т. е. частице, движущейся со скоростью, близкой к скорости света, сообщить дополнительную энергию, чтобы увеличить ее импульс, то скорость ее при этом увеличится очень незначительно. Можно сказать, что энергия частицы и ее импульс увеличиваются теперь за счет роста ее релятивистской массы. Этот эффект наблюдается в работе ускорителей заряженных частиц высоких энергий и служит наиболее убедительным экспериментальным подтверждением теории относительности.

Энергия покоя. Самое замечательное в формуле заключается в том, что покоящееся тело обладает энергией: полагая в получаем

Энергию называют энергией покоя.

Кинетическая энергия. Кинетическая энергия частицы в некоторой системе отсчета определяется как разность между ее полной энергией и энергией покоя С помощью (1) имеем

Если скорость частицы мала по сравнению со скоростью света, формула (6) переходит в обычное выражение для кинетической энергии частицы в нерелятивистской физике.

Различие между классическим и релятивистским выражениями для кинетической энергии становится особенно существенным, когда скорость частицы приближается к скорости света. При релятивистская кинетическая энергия (6) неограниченно возрастает: частица, обладающая отличной от нуля массой покоя и

Рис. 10. Зависимость кинетической энергии тела от скорости

движущаяся со скоростью света, должна была бы иметь бесконечную кинетическую энергию. Зависимость кинетической энергии от скорости частицы показана на рис. 10.

Пропорциональность массы и энергии. Из формулы (6) следует, что при разгоне тела приращение кинетической энергии сопровождается пропорциональным приращением его релятивистской массы. Вспомним, что важнейшим свойством энергии является ее способность превращаться из одной формы в другую в эквивалентных количествах при различных физических процессах - именно в этом заключается содержание закона сохранения энергии. Поэтому естественно ожидать, что возрастание релятивистской массы тела будет происходить не только при сообщении ему кинетической энергии, но и при любом другом увеличении энергии тела независимо от конкретного вида энергии. Отсюда можно сделать фундаментальное заключение о том, что полная энергия тела пропорциональна его релятивистской массе независимо от того, из каких конкретных видов энергии она состоит.

Поясним сказанное на следующем простом примере. Рассмотрим неупругое столкновение двух одинаковых тел, движущихся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями, так что в результате столкновения образуется одно тело, которое покоится (рис. 11а).

Рис. 11. Неупругое столкновение, наблюдаемое в разных системах отсчета

Пусть скорость каждого из тел до столкновения равна а масса покоя Массу покоя образовавшегося тела обозначим через Теперь рассмотрим это же столкновение с точки зрения наблюдателя в другой системе отсчета К, движущейся относительно исходной системы К влево (рис. 11б) с малой (нерелятивистской) скоростью -и.

Так как то для преобразования скорости при переходе от К к К можно использовать классический закон сложения скоростей. Закон сохранения импульса требует, чтобы полный импульс тел до столкновения был равен импульсу образовавшегося тела. До столкновения полный импульс системы равен где релятивистская масса сталкивающихся тел; после столкновения он равен ибо вследствие массу образовавшегося тела и в К можно считать равной массе покоя. Таким образом, из закона сохранения импульса следует, что масса покоя образовавшегося в результате неупругого соударения тела равна сумме релятивистских масс сталкивающихся частиц, т. е. она больше, чем сумма масс покоя исходных частиц:

Рассмотренный пример неупругого соударения двух тел, при котором происходит превращение кинетической энергии во внутреннюю энергию, показывает, что увеличение внутренней энергии тела также сопровождается пропорциональным увеличением массы. Этот вывод должен быть распространен на все виды энергии: нагретое тело имеет большую массу, чем холодное, сжатая пружина имеет большую массу, чем несжатая, и т. п.

Эквивалентность энергии и массы. Закон пропорциональности массы и энергии является одним из самых замечательных выводов теории относительности. Взаимосвязь массы и энергии заслуживает подробного обсуждения.

В классической механике масса тела есть физическая величина, являющаяся количественной характеристикой его инертных свойств, т. е. мера инертности. Это инертная масса. С другой стороны, масса характеризует способность тела создавать поле тяготения и испытывать силу в поле тяготения. Это тяготеющая, или гравитационная, масса. Инертность и способность к гравитационным взаимодействиям представляют собой совершенно различные проявления свойств материи. Однако то, что меры этих различных проявлений обозначаются одним и тем же словом, не случайно, а обусловлено тем, что оба свойства всегда существуют совместно и всегда друг другу пропорциональны, так что меры этих свойств можно выражать одним и тем же числом при надлежащем выборе единиц измерения.

Равенство инертной и гравитационной масс есть экспериментальный факт, подтвержденный с огромной степенью точности в опытах Этвеша, Дикке и др. Как же следует отвечать на вопрос: есть ли масса инертная и масса гравитационная одно и то же или нет? По своим проявлениям они различны, но их числовые характеристики пропорциональны друг другу. Такое положение вещей характеризуют словом «эквивалентность».

Аналогичный вопрос возникает в связи с понятиями массы покоя и энергии покоя в теории относительности. Проявления свойств материи, соответствующих массе и энергии, бесспорно различны. Но теория относительности утверждает, что эти свойства неразрывно связаны, пропорциональны друг другу. Поэтому в этом смысле можно говорить об эквивалентности массы покоя и энергии покоя. Выражающее эту эквивалентность соотношение (5) называется формулой Эйнштейна. Она означает, что всякое изменение энергии системы сопровождается эквивалентным изменением ее массы. Это относится к изменениям различных видов внутренней энергии, при которых масса покоя меняется.

О законе сохранения массы. Опыт показывает нам, что в громадном большинстве физических процессов, в которых изменяется внутренняя энергия, масса покоя остается неизменной. Как это согласовать с законом пропорциональности массы и энергии? Дело в том, что обычно подавляющая часть внутренней энергии (и соответствующей ей массы покоя) в превращениях не участвует и в результате оказывается, что определяемая из взвешивания масса практически сохраняется, несмотря на то, что тело выделяет или поглощает энергию. Это объясняется просто недостаточной точностью взвешивания. Для иллюстрации рассмотрим несколько численных примеров.

1. Энергия, высвобождающаяся при сгорании нефти, при взрыве динамита и при других химических превращениях, представляется нам в масштабах повседневного опыта громадной. Однако если перевести ее величину на язык эквивалентной массы, то окажется, что эта масса не составляет и полной величины массы покоя. Например, при соединении водорода с кислорода выделяется около энергии. Масса покоя образовавшейся воды на меньше массы исходных веществ. Такое изменение массы слишком мало для того, чтобы его можно было обнаружить с помощью современных приборов.

2. При неупругом столкновении двух частиц по разогнанных навстречу друг другу до скорости добавочная масса покоя слипшейся пары составляет

(При такой скорости можно пользоваться нерелятивистским выражением для кинетической энергии.) Эта величина намного меньше погрешности, с которой может быть измерена масса

Масса покоя и квантовые закономерности. Естественно задать вопрос: почему при обычных условиях подавляющая часть энергии находится в совершенно пассивном состоянии и в превращениях не участвует? На этот вопрос теория относительности не может дать ответа. Ответ следует искать в области квантовых закономерностей,

одной из характерных особенностей которых является существование устойчивых состояний с дискретными уровнями энергии.

Для элементарных частиц энергия, соответствующая массе покоя, либо превращается в активную форму (излучение) целиком, либо вовсе не превращается. Примером может служить превращение пары электрон-позитрон в гамма-излучение.

У атомов подавляющая часть массы находится в форме массы покоя элементарных частиц, которая в химических реакциях не изменяется. Даже в ядерных реакциях энергия, соответствующая массе покоя тяжелых частиц (нуклонов), входящих в состав ядер, остается пассивной. Но здесь активная часть энергии, т. е. энергия взаимодействия нуклонов, составляет уже заметную долю энергии покоя.

Таким образом, экспериментальное подтверждение релятивистского закона пропорциональности энергии покоя и массы покоя следует искать в мире физики элементарных частиц и ядерной физики. Например, в ядерных реакциях, идущих с выделением энергии, масса покоя конечных продуктов меньше массы покоя ядер, вступающих в реакцию. Соответствующая этому изменению массы энергия с хорошей точностью совпадает с измеренной на опыте кинетической энергией образующихся частиц.

Как импульс и энергия частицы зависят от ее скорости в релятивистской механике?

Какая физическая величина называется массой частицы? Что такое масса покоя? Что такое релятивистская масса?

Покажите, что релятивистское выражение (6) для кинетической энергии переходит в обычное классическое при .

Что такое энергия покоя? В чем заключается принципиальное отличие релятивистского выражения для энергии тела от соответствующего классического?

В каких физических явлениях обнаруживает себя энергия покоя?

Как понимать утверждение об эквивалентности массы и энергии? Приведите примеры проявления этой эквивалентности.

Сохраняется ли масса вещества при химических превращениях?

Вывод выражения для импульса. Дадим обоснование формул (1), приведенных выше без доказательства, анализируя простой мысленный опыт. Для выяснения зависимости импульса частицы от скорости рассмотрим картину абсолютно упругого «скользящего» столкновения двух одинаковых частиц. В системе центра масс это столкновение имеет вид, показанный на рис. 12а: до столкновения частицы У и 2 движутся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями, после столкновения частицы разлетаются в противоположные стороны с такими же по модулю скоростями, как и до столкновения. Другими словами,

при столкновении происходит только поворот векторов скоростей каждой из частиц на один и тот же небольшой угол

Как будет выглядеть это же столкновение в других системах отсчета? Направим ось х вдоль биссектрисы угла и введем систему отсчета К, движущуюся вдоль оси х относительно системы центра масс со скоростью, равной х-составляющей скорости частицы 1. В этой системе отсчета картина столкновения выгладит так, как показано на рис. 12б: частица 1 движется параллельно оси у, изменив при столкновении направление скорости и импульса на противоположное.

Сохранение х-составляющей полного импульса системы частиц при столкновении выражается соотношением

где - импульсы частиц после столкновения. Так как (рис. 126), требование сохранения импульса означает равенство х-составляющих импульса частиц 1 и 2 в системе отсчета К:

Теперь, наряду с К, введем в рассмотрение систему отсчета К, которая движется относительно системы центра масс со скоростью, равной х-составляющей скорости частицы 2.

Рис. 12. К выводу зависимости массы тела от скорости

В этой системе частица 2 до и после столкновения движется параллельно оси у (рис. 12в). Применяя закон сохранения импульса, убеждаемся, что в этой системе отсчета, как и в системе К, имеет место равенство -составляющих импульса частиц

Но из симметрии картин столкновения на рис. 12б,в легко сделать вывод о том, что модуль импульса частицы 1 в системе К равен модулю импульса частицы 2 в системе отсчета поэтому

Сопоставляя два последних равенства, находим т. е. у-составляющая импульса частицы 1 одинакова в системах отсчета К и К. Точно так же находим Другими словами, у-составляющая импульса любой частицы, перпендикулярная направлению относительной скорости систем отсчета, одинакова в этих системах. В этом и заключается главный вывод из рассмотренного мысленного эксперимента.

Но у-составляющая скорости частицы имеет различное значение в системах отсчета К и К. Согласно формулам преобразования скорости

где есть скорость системы К относительно К. Таким образом, в К у-составляющая скорости частицы 1 меньше, чем в К.

Это уменьшение у-составляющей скорости частицы 1 при переходе от К к К непосредственно связано с релятивистским преобразованием времени: одинаковое в К и К расстояние между штриховыми линиями А и В (рис. 12б, в) частица 1 в системе К проходит за большее время, чем в К. Если в К это время равно (собственное время, так как оба события - пересечение штрихов А и В - происходят в К при одном и том же значении координаты то в системе К это время больше и равно

Вспоминая теперь, что у-составляющая импульса частицы 1 одинакова в системах К и К, мы видим, что в системе К, где у-составляющая скорости частицы меньше, этой частице нужно приписать как бы ббльшую массу, если под массой понимать, как и в нерелятивистской физике, коэффициент пропорциональности между скоростью и импульсом. Как уже отмечалось, этот коэффициент называют иногда релятивистской массой. Релятивистская масса частицы зависит от системы отсчета, т. е. является величиной относительной. В той системе отсчета, где скорость частицы много меньше скорости света, для связи между скоростью и импульсом частицы справедливо обычное классическое выражение где есть масса частицы в том смысле, как она понимается в нерелятивистской физике (масса покоя). между скоростью и импульсом. Из приведенного вывода ясно, что это возрастание релятивистской массы, вызванное движением системы отсчета, действительно связано с релятивистским кинематическим эффектом замедления времени.

Возвращаясь к рис. 12, вспомним, что был рассмотрен случай скользящего столкновения, когда составляющая скорости частицы вдоль оси у была много меньше составляющей ее скорости вдоль оси х. В этом предельном случае входящая в полученную формулу относительная скорость систем К и к практически совпадает со скоростью частицы 1 в системе К. Поэтому найденное значение коэффициента пропорциональности между у-составляющими векторов скорости и импульса справедливо и для самих векторов. Таким образом, соотношение (3) доказано.

Вывод выражения для энергии. Выясним теперь, к каким изменениям в выражении для энергии частицы приводит формула для релятивистского импульса.

В релятивистской механике сила вводится таким образом, чтобы соотношение между приращением импульса частицы Др и импульсом силы было таким же, как и в классической физике:

Как с помощью мысленного эксперимента можно показать, что составляющая импульса частицы, перпендикулярная направлению относительной скорости двух систем отсчета, одинакова в обеих этих системах? Какую роль при этом играют соображения симметрии?

Поясните связь зависимости релятивистской массы частицы от ее скорости с релятивистским кинематическим эффектом замедления времени.

Каким образом можно прийти к релятивистской формуле для кинетической энергии, основываясь на пропорциональности между приращениями кинетической энергии и релятивистской массы?

Полная энергия релятивистской частицы определяется как

где – масса частицы, – ее скорость. Полная энергия в разных системах отсчета различна.

Энергия покоящегося тела (при )

Классическая механика энергию покоя не учитывает, считая, что при энергия покоящегося тела равна нулю.

Закон сохранения энергии в релятивистской механике гласит, что полная энергия замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Кинетическая энергия тела определяется формулой

, (5.26)

поскольку полная энергия в релятивистской динамике - это сумма кинетической энергии и энергии покоя.

Из формул (5.22) и (5.24) легко получить выражение, связывающее энергию и импульс:

Отсюда получим

. (5.28)

Учитывая, что , отсюда получим

. (5.29)

Контрольные вопросы

1. Какие принципы лежат в основе специальной теории относительности?

2. Как связаны друг с другом преобразования Галилея и преобразования Лоренца?

3. Какие вы знаете инвариантные величины?

4. Напишите формулу, выражающую импульс частицы через ее энергию и скорость.

5. Напишите формулу, выражающую энергию частицы через ее импульс.

6. Что характерно для частиц с нулевой массой?

7. Соблюдается ли закон сохранения импульса в специальной теории относительности?

1. Во сколько раз замедляется ход времени при скорости движения часов u = 240 000 км/с?

2. Найти относительную скорость двух частиц, движущихся навстречу друг другу со скоростью u = c /2.

3. Написать выражение для полной энергии частицы, ее кинетической энергии, энергии покоя, импульса частицы. Каким соотношением связаны энергии и импульс релятивистской частицы?

4. В ходе эксперимента были определены импульс и энергия частицы. Найти ее скорость и массу.

5. Электрон начинает ускоряться в однородном электрическом поле, напряженность которого направлена вдоль оси x . Нарисовать качественно графики зависимости от x : а) полной E и кинетической К энергий электрона; б) импульса электрона; в) скорости электрона.

6. Почему при u =c преобразования Лоренца теряют смысл?

7. Может ли при аннигиляции электрона (q= - e ) и позитрона (q=+e ) образоваться один фотон? Ответ обосновать с помощью законов сохранения энергии и импульса.

В специальной теории относительности рассматриваются только инерциальные системы отсчета. Во всех задачах считается, что оси у, у" и z, z" сонаправлены, а относительная скорость υ 0 системы ко­ординат К" относительно системы К нап­равлена вдоль общей оси хх" (рис. 5 .1).

Релятивистское (лоренцево) сок­ращение длины стержня

Релятивистское замедление хода часов

где Δt 0 - интервал времени между двумя событиями, происходя­щими в одной точке системы K", измеренный по часам этой системы (собственное время движущихся часов); Δt - интервал времени между двумя событиями, измеренный по часам системы K.

Релятивистское сложение скоростей

где υ" - относительная скорость (скорость тела относительно си­стемы K"); υ 0 - переносная скорость (скорость системы K" относи­тельно К), υ0 - абсолютная скорость (скорость тела относительно системы К).

В теории относительности абсолютной скоростью называется скорость тела в системе координат, условно принятой за непод­вижную.

Релятивистская масса

где т 0 - масса покоя; β - скорость частицы, выраженная в долях скорости света

Релятивистский импульс

, или

Полная энергия релятивистской частицы

где Т - кинетическая энергия частицы; - ее энергия покоя. Частица называется релятивистской, если скорость частицы сравнима со скоростью света, и классической, если υ<<с.

Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы

Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы

Примеры решения задач

Пример 1. Космический корабль движется со скоростью υ=0,9 с по направлению к центру Земли. Какое расстояние l прой­дет этот корабль в системе отсчета, связанной с Землей (K-система), за интервал времени Δt 0 =1 с, отсчитанный по часам, находя­щимся в космическом корабле (K"-система)? Суточным вращением Земли и ее орбитальным движением вокруг Солнца пренебречь.

Решение. Расстояние l , которое пройдет космический ко­рабль в системе отсчета, связанной с Землей (K-система), определим по формуле

(1)
где -интервал времени, отсчитанный в K -системе отсчета.
Этот интервал времени связан с интервалом времени, отсчитан­
ным в K "-системе, соотношением Подставив
выражение в формулу (1), получим

После вычислений найдем

l =619 Мм.

Решение. Пусть в K "-системе стержень лежит в плоскости х"О"у". Из рис. 5 .2, а следует, что собственная длина l 0 стержня и угол φ 0 , который он составляет с осью х", выразятся равенствами

В K -системе те же величины окажутся равными (рис. 5 .2, б)

Заметим, что при переходе от системы К." к К размеры стержня в направлении оси у не изменятся, а в направлении оси х претерпят релятивистское (лоренцево) сокращение, т. е.

С учетом последних соотношений собственная длина стержня выразится равенством

Заменив в этом выражении на (рис. 5 .2, б), получим

Подставив значения величин в это выражение и произведя
вычисления, найдем

l 0 =15 (3 м.

Для определения угла воспользуемся соотношениями (1), (2) и (3):

Подставив значения φ и β в это выражение и произведя вычисле­ния, получим

Пример 3. Кинетическая энергия Т электрона равна 1 МэВ. Определить скорость электрона.

Решение. Релятивистская формула кинетической энергии

Выполнив относительно β преобразования, найдем скорость час­тицы, выраженную в долях скорости света (β =υ /c ):

(1)

где E 0 - энергия покоя электрона (см. табл. 22).

Вычисления по этой формуле можно производить в любых еди­ницах энергии, так как наименования единиц в правой части формул сократятся и в результате подсчета будет получено отвлеченное число.

Подставив числовые значения Е 0 и Т в мега электрон-вольтах, получим

β =0,941.
Так как , то

υ = 2,82-10 8 м/с.

Чтобы определить, является ли частица с кинетической энергией Т релятивистской или классической, достаточно сравнить кинети­ческую энергию частицы с ее энергией покоя.

Пример 4. Определить релятивистский импульс р и кинетическую энергию Т электрона, движущегося со скоростью υ =0,9 с (где с - скорость света в вакууме).

Решение. Релятивистский импульс

(1)

После вычисления по формуле (1) получим

В релятивистской механике кинетическая энергия Т частицы определяется как разность между полной энергией E и энергией покоя Е 0 этой частицы, т. е.

Так как и , то, учитывая зависимость массы от
скорости, получим

или окончательно

(2)

Сделав вычисления, найдем

T =106 фДж.

Во внесистемных единицах энергия покоя электрона m 0 с 2 =0,5 1 МэВ. Подставив это значение в формулу (2), получим

Т =0,66 МэВ.

Пример 5. Релятивистская частица с кинетической энергией T =т 0 c 2 (m 0 - масса покоя частицы) испытывает неупругое столк­новение с такой же покоящейся (в лабораторной системе отсчета) частицей. При этом образуется составная частица. Определить: 1) релятивистскую массу т движущейся частицы; 2) релятивистскую массу т" и массу покоя m 0 " составной частицы; 3) ее кинетическую энергию Т".

Решение. 1. Релятивистскую массу m движущейся частицы
до столкновения найдем из выражения для кинетической энергии
релятивистской частицы . Так как , то m =
=2т 0 .

2. Для того чтобы найти релятивистскую массу составной части­цы, воспользуемся тем, что суммарная релятивистская масса частиц сохраняется *: m+m 0 =m", где т +т 0 - суммарная релятивистская масса частиц до столкновения; т" - релятивистская масса состав­ной частицы. Так как т-2т 0 , то

Массу покоя m 0 " составной частицы найдем из соотношения

(1)
Скорость υ" составной частицы (она совпадает со скоростью V c центра масс в лабораторной системе отсчета) можно найти из закона сохранения импульса р=р", где р- импульс релятивистской частицы до столкновения; р" - импульс составной релятивистской частицы. Выразим р через кинетическую энергию Т:

Так как , то

Релятивистский импульс . Учитывая, что ,
закон сохранения импульса можно записать в виде ,
откуда

Подставив выражения υ" и т" в формулу (I), найдем массу покоя составной частицы:

3. Кинетическую энергию Т" составной релятивистской частицы найдем как разность полной энергии т"с 2 и энергии покоя т 0 "с 2 составной частицы:

Подставив выражения т" и m 0 ", получим

· Этот закон см., например, в кн.: Савельев И. В. Куре общей физики.

М., 1977. Т. I, §70.

Релятивистское изменение длин

и интервалов времени

5.1. Предположим, что мы можем измерить длину стержня с точ­ностью Δl =0,1 мкм. При какой относительной скорости и двух инерциальных систем отсчета можно было бы обнаружить реляти­вистское сокращение длины стержня, собственная длина l 0 которого равна 1 м?

5 .2. Двое часов после синхронизации были помещены в системы координат К и К", движущиеся друг относительно друга. При какой скорости и их относительного движения возможно обнару­жить релятивистское замедление хода часов, если собственная дли­тельность τ0 измеряемого промежутка времени составляет 1 с? Измерение времени производится с точностью Δτ=10 пс.

5 .3. На космическом корабле-спутнике находятся часы, синхро­низированные до полета с земными. Скорость υ 0 спутника составля­ет 7,9 км/с. На сколько отстанут часы на спутнике по измерениям земного наблюдателя по своим часам за время τ 0 =0,5 года?

5 .4. Фотонная ракета движется относительно Земли со скоро­стью υ=0,6 с. Во сколько раз замедлится ход времени в ракете с точки зрения земного наблюдателя?

5 .5 . В системе К" покоится стержень, собственная длина l 0 кото­рого равна 1 м. Стержень расположен так, что составляет угол φ 0 =45 ° с осью x" . Определить длину l стержня и угол φ в системе K, если скорость υ о системы K" относительно К равна 0,8 с.

5 .6. В системе К находится квадрат, сторона которого параллель­на оси х" . Определить угол φ между его диагоналями в системе К, если система К" движется относительно К со скоростью υ=0,95 с.

5 .7. В лабораторной системе отсчета (K-система) пи-мезон с мо­мента рождения до момента распада пролетел расстояние l =75 м. Скорость υ пи-мезона равна 0,995 с. Определить собственное время жизни τ 0 мезона.

5 .8. Собственное время жизни τ 0 мю-мезона равно 2 мкс. От точки рождения до точки распада в лабораторной системе отсчета мю-мезон пролетел расстояние l =6 км. С какой скоростью υ (в долях ско­рости света) двигался мезон?