ลูกตุ้มคณิตศาสตร์เป็นจุดวัสดุที่แขวนอยู่บนเส้นด้ายไร้น้ำหนักและยืดไม่ได้ซึ่งอยู่ในสนามโน้มถ่วงของโลก ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์เป็นแบบจำลองในอุดมคติที่อธิบายลูกตุ้มจริงได้อย่างถูกต้องภายใต้เงื่อนไขบางประการเท่านั้น ลูกตุ้มจริงถือได้ว่าเป็นทางคณิตศาสตร์หากความยาวของด้ายมากกว่าขนาดของลำตัวที่แขวนอยู่มากมวลของด้ายนั้นน้อยมากเมื่อเทียบกับมวลของลำตัวและการเสียรูปของด้ายนั้นเล็กมาก ที่จะละเลยไปได้เลย

ระบบสั่นใน ในกรณีนี้ก่อตัวเป็นด้ายร่างกายที่ติดอยู่กับมันและโลกโดยที่ระบบนี้ไม่สามารถใช้เป็นลูกตุ้มได้

ที่ไหน ก เอ็กซ์ – การเร่งความเร็ว, ก – การเร่งความเร็วในการตกอย่างอิสระ เอ็กซ์- การกระจัด ล– ความยาวของเกลียวลูกตุ้ม

สมการนี้เรียกว่า สมการการแกว่งอิสระของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์อธิบายการสั่นสะเทือนดังกล่าวได้อย่างถูกต้องเฉพาะเมื่อเป็นไปตามสมมติฐานต่อไปนี้:

2) พิจารณาเฉพาะการแกว่งเล็กน้อยของลูกตุ้มที่มีมุมสวิงเล็กน้อยเท่านั้น

การสั่นสะเทือนอิสระของระบบใดๆ จะถูกอธิบายในทุกกรณีด้วยสมการที่คล้ายคลึงกัน

สาเหตุของการแกว่งอย่างอิสระของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์คือ:

1. ผลกระทบของความตึงเครียดและแรงโน้มถ่วงต่อลูกตุ้ม ป้องกันไม่ให้เคลื่อนที่จากตำแหน่งสมดุลและบังคับให้ตกลงมาอีกครั้ง

2. ความเฉื่อยของลูกตุ้มซึ่งรักษาความเร็วไว้ไม่ได้หยุดอยู่ในตำแหน่งสมดุล แต่จะผ่านไปต่อไป

คาบของการแกว่งอย่างอิสระของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์

คาบของการแกว่งอย่างอิสระของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับมวลของมัน แต่ถูกกำหนดโดยความยาวของเกลียวและความเร่งเท่านั้น ฤดูใบไม้ร่วงฟรีในตำแหน่งที่ลูกตุ้มตั้งอยู่

การแปลงพลังงานระหว่างการสั่นของฮาร์มอนิก

ในระหว่างการสั่นฮาร์มอนิกของลูกตุ้มสปริง พลังงานศักย์ของวัตถุที่มีรูปร่างผิดปกติแบบยืดหยุ่นจะถูกแปลงเป็นพลังงานจลน์ โดยที่ เค – ค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่น เอ็กซ์ -โมดูลัสของการกระจัดของลูกตุ้มจากตำแหน่งสมดุล ม- มวลของลูกตุ้ม โวลต์- ความเร็วของมัน ตามสมการการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก:

, .

พลังงานรวมของลูกตุ้มสปริง:

.

พลังงานทั้งหมดสำหรับลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์:

ในกรณีของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์

การเปลี่ยนแปลงพลังงานระหว่างการแกว่งของลูกตุ้มสปริงเกิดขึ้นตามกฎการอนุรักษ์พลังงานกล ( - เมื่อลูกตุ้มเคลื่อนลงหรือขึ้นจากตำแหน่งสมดุล พลังงานศักย์ของมันจะเพิ่มขึ้น และพลังงานจลน์ของมันจะลดลง เมื่อลูกตุ้มผ่านตำแหน่งสมดุล ( เอ็กซ์= 0) พลังงานศักย์เป็นศูนย์ และพลังงานจลน์ของลูกตุ้มมีค่ามากที่สุด เท่ากับพลังงานทั้งหมด

ดังนั้นในกระบวนการของการแกว่งอย่างอิสระของลูกตุ้ม พลังงานศักย์กลายเป็นจลนศาสตร์ จลนศาสตร์เป็นศักย์ ศักย์แล้วกลับเป็นจลน์ ฯลฯ แต่สมบูรณ์ พลังงานกลอย่างไรก็ตามยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

แรงสั่นสะเทือนที่ถูกบังคับ เสียงก้อง.

การสั่นที่เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรงคาบภายนอกเรียกว่า การสั่นบังคับ- แรงคาบภายนอกที่เรียกว่าแรงส่งผ่านไปยังระบบออสซิลลาทอรี พลังงานพิเศษซึ่งไปเติมเต็มการสูญเสียพลังงานที่เกิดขึ้นเนื่องจากการเสียดสี ถ้าแรงผลักดันเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎของไซน์หรือโคไซน์ การสั่นที่ถูกบังคับจะเป็นฮาร์โมนิกและไม่มีแดมป์

ต่างจากการสั่นแบบอิสระ เมื่อระบบได้รับพลังงานเพียงครั้งเดียว (เมื่อระบบถูกนำออกจากสมดุล) ในกรณีที่เกิดการสั่นแบบบังคับ ระบบจะดูดซับพลังงานนี้จากแหล่งกำเนิดแรงภายนอกเป็นระยะอย่างต่อเนื่อง พลังงานนี้ชดเชยการสูญเสียที่ใช้ไปกับการเอาชนะแรงเสียดทาน ดังนั้นพลังงานทั้งหมดของระบบออสซิลเลเตอร์จึงยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

ความถี่ของการสั่นแบบบังคับจะเท่ากับความถี่ของแรงขับเคลื่อน- ในกรณีที่ความถี่ของแรงขับเคลื่อน υ เกิดขึ้นพร้อมกับความถี่ธรรมชาติของระบบออสซิลลาทอรี υ 0 , มีการเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วของแอมพลิจูดของการสั่นแบบบังคับ - เสียงก้อง. เสียงสะท้อนเกิดขึ้นเนื่องจากเมื่อใด υ = υ 0 แรงภายนอกซึ่งกระทำในเวลาที่มีการสั่นสะเทือนอิสระจะสอดคล้องกับความเร็วของตัวสั่นเสมอและทำงานเชิงบวก: พลังงานของตัวสั่นจะเพิ่มขึ้น และแอมพลิจูดของการแกว่งจะมีขนาดใหญ่ กราฟแสดงแอมพลิจูดของการสั่นแบบบังคับ ก ต เรื่องความถี่ของแรงขับเคลื่อน υ นำเสนอในรูปนี้ กราฟนี้เรียกว่าเส้นโค้งเรโซแนนซ์:

ปรากฏการณ์การสั่นพ้องมีบทบาทสำคัญในกระบวนการทางธรรมชาติ วิทยาศาสตร์ และอุตสาหกรรมหลายประการ ตัวอย่างเช่น จำเป็นต้องคำนึงถึงปรากฏการณ์การสั่นพ้องเมื่อออกแบบสะพาน อาคาร และโครงสร้างอื่น ๆ ที่ได้รับการสั่นสะเทือนภายใต้ภาระ มิฉะนั้นภายใต้เงื่อนไขบางประการ โครงสร้างเหล่านี้สามารถถูกทำลายได้

หากวัตถุที่ติดอยู่กับสปริง (รูปที่ 4) ถูกเบี่ยงเบนไปจากตำแหน่งสมดุลด้วยระยะห่าง A เช่น ไปทางซ้าย เมื่อผ่านตำแหน่งสมดุลไปแล้ว จะเบนไปทางขวา เป็นไปตามกฎการอนุรักษ์พลังงาน

พลังงานศักย์ของสปริงอัดหรือสปริงยืดมีค่าเท่ากับ

โดยที่ k คือความแข็งของสปริง และ x คือความยืดตัว ในตำแหน่งซ้ายสุด ส่วนขยายของสปริงคือ x = - A ดังนั้น พลังงานศักย์จึงเท่ากับ

พลังงานจลน์ในขณะนี้เป็นศูนย์เนื่องจากความเร็วเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าพลังงานศักย์คือพลังงานกลทั้งหมดของระบบในขณะนี้ หากเรายอมรับว่าแรงเสียดทานเป็นศูนย์และแรงอื่น ๆ มีความสมดุล ระบบของเราก็จะถือว่าปิดและเป็นของมัน พลังงานทั้งหมดไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้เมื่อเคลื่อนย้าย เมื่อร่างกายอยู่ในตำแหน่งที่ถูกต้องที่สุด (x = A) ในระหว่างการเคลื่อนไหว พลังงานจลน์จะเท่ากับศูนย์อีกครั้ง และพลังงานทั้งหมดจะเท่ากับศักย์ไฟฟ้าอีกครั้ง แต่พลังงานทั้งหมดไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ มันจึงเท่ากันอีกครั้ง

ซึ่งหมายความว่าร่างกายจะเบี่ยงไปทางขวาเป็นระยะทางเท่ากับ A

ในตำแหน่งสมดุล ตรงกันข้าม พลังงานศักย์เป็นศูนย์เนื่องจากสปริงไม่เสียรูป x = 0 ในตำแหน่งนี้ พลังงานทั้งหมดของร่างกายจะเท่ากับพลังงานจลน์ของมัน

โดยที่ m คือมวลของร่างกายและเป็นความเร็ว (สูงสุดในขณะนี้) แต่พลังงานจลน์นี้ก็ต้องมีค่าเท่ากันด้วย ดังนั้น ในระหว่างการเคลื่อนที่แบบสั่น พลังงานจลน์จะถูกแปลงเป็นพลังงานศักย์และในทางกลับกัน ณ จุดใดก็ตามระหว่างตำแหน่งของสมดุลและการเบี่ยงเบนสูงสุด ร่างกายมีทั้งพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ แต่ผลรวมคือ พลังงานทั้งหมดในตำแหน่งใดของร่างกายจะเท่ากัน พลังงานกลทั้งหมด W ของตัวการสั่นนั้นเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของแอมพลิจูดและการแกว่งของตัวมัน

ลูกตุ้ม ลูกตุ้มคณิตศาสตร์

ลูกตุ้มคือวัตถุใดๆ ก็ตามที่ถูกแขวนไว้จนจุดศูนย์ถ่วงของมันอยู่ต่ำกว่าจุดแขวนลอย ซึ่งหมายความว่าสิ่งของที่แขวนไว้บนเชือกเป็นระบบการสั่นคล้ายกับลูกตุ้ม นาฬิกาแขวน- ระบบใดๆ ที่สามารถแกว่งอย่างอิสระได้จะมีตำแหน่งสมดุลที่มั่นคง สำหรับลูกตุ้ม นี่คือตำแหน่งที่จุดศูนย์ถ่วงอยู่ในแนวตั้งใต้จุดแขวนลอย ถ้าเราเอาลูกตุ้มออกจากตำแหน่งนี้หรือดันมัน มันก็จะเริ่มแกว่งโดยเบี่ยงเบนไปในทิศทางหนึ่งหรืออีกทิศทางหนึ่งจากตำแหน่งสมดุล เรารู้ว่า ส่วนเบี่ยงเบนที่ยิ่งใหญ่ที่สุดจากตำแหน่งสมดุลที่ลูกตุ้มไปถึงเรียกว่าแอมพลิจูดของการแกว่ง แอมพลิจูดถูกกำหนดโดยการโก่งตัวหรือแรงกดเริ่มต้นที่ทำให้ลูกตุ้มเคลื่อนที่ คุณสมบัตินี้ - การขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดกับเงื่อนไขในช่วงเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว - เป็นลักษณะเฉพาะไม่เพียงแต่ของการแกว่งอย่างอิสระของลูกตุ้มเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการแกว่งอย่างอิสระของระบบการสั่นหลายระบบโดยทั่วไปด้วย

ระยะเวลาการสั่นของลูกตุ้มทางกายภาพขึ้นอยู่กับหลายสถานการณ์ เช่น ขนาดและรูปร่างของร่างกาย ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์ถ่วงกับจุดแขวนลอย และการกระจายตัวของมวลกายสัมพันธ์กับจุดนี้ ดังนั้นการคำนวณระยะเวลาของวัตถุที่ถูกระงับจึงค่อนข้างมาก งานที่ยากลำบาก- สถานการณ์จะง่ายกว่าสำหรับลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์คือน้ำหนักที่ห้อยลงมาจากเกลียวเส้นเล็กซึ่งมีขนาดน้อยกว่าความยาวของเกลียวมากและมวลของมันจะมากกว่ามวลของเกลียวมาก ซึ่งหมายความว่าร่างกาย (น้ำหนักบรรทุก) และด้ายจะต้องอยู่ในตำแหน่งที่น้ำหนักบรรทุกถือได้ว่าเป็นจุดวัสดุ และด้ายไม่มีน้ำหนัก จากการสังเกตลูกตุ้มดังกล่าว สามารถกำหนดกฎง่ายๆ ต่อไปนี้ได้

1. หากในขณะที่รักษาความยาวของลูกตุ้มให้เท่ากัน (ระยะห่างจากจุดแขวนจนถึงจุดศูนย์ถ่วงของน้ำหนัก) คุณแขวนน้ำหนักที่แตกต่างกัน ระยะเวลาของการสั่นจะเท่ากันแม้ว่ามวลของ โหลดต่างกันมาก คาบของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับมวลของภาระ

2. แรงที่กระทำต่อร่างกาย ณ จุดใด ๆ ของวิถีจะมุ่งตรงไปยังตำแหน่งสมดุล และที่จุดสมดุลนั้นมีค่าเท่ากับศูนย์

3. แรงเป็นสัดส่วนกับการเบี่ยงเบนของร่างกายจากตำแหน่งสมดุล

ข้าว. 5.

4. หากเมื่อเราสตาร์ทลูกตุ้ม เราเบี่ยงเบนมันไปในมุมที่ต่างกัน (แต่ไม่ใหญ่เกินไป) มันจะแกว่งในช่วงเวลาเดียวกันแม้ว่าจะมีแอมพลิจูดต่างกันก็ตาม ตราบใดที่แอมพลิจูดไม่ใหญ่เกินไป การแกว่งจะค่อนข้างใกล้เคียงกับฮาร์มอนิก และคาบของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดของการแกว่ง คุณสมบัตินี้เรียกว่า isochronism (จากคำภาษากรีก "isos" - เท่ากับ "chronos" - เวลา)

ข้อเท็จจริงนี้ก่อตั้งขึ้นครั้งแรกในปี 1655 โดยกาลิเลโอ โดยถูกกล่าวหาว่าอยู่ภายใต้สถานการณ์ต่อไปนี้ กาลิเลโอสังเกตการแกว่งของโคมระย้าในอาสนวิหารปิซา (ในโบสถ์ออร์โธดอกซ์ โคมระย้าตรงกลาง โคมไฟที่มีเทียนหรือตะเกียงหลายดวง) อยู่บนสายโซ่ยาวซึ่งจะถูกดันเมื่อจุดไฟ ระหว่างให้บริการ ชิงช้าค่อยๆ จางลง (บทที่ 8) นั่นคือ ความกว้างของชิงช้าลดลง แต่ช่วงเวลายังคงเท่าเดิม กาลิเลโอใช้ชีพจรของตัวเองเป็นเครื่องบอกเวลา

คุณสมบัติของลูกตุ้มนี้ไม่เพียงแต่น่าประหลาดใจ แต่ยังมีประโยชน์อีกด้วย กาลิเลโอเสนอให้ใช้ลูกตุ้มเป็นตัวควบคุมในนาฬิกา ในสมัยของกาลิเลโอ นาฬิกาถูกขับเคลื่อนด้วยน้ำหนัก และอุปกรณ์หยาบ เช่น ใบพัดกังหันลม ถูกนำมาใช้เพื่อปรับความเร็ว ซึ่งใช้แรงต้านของอากาศ หากต้องการนับระยะเวลาที่เท่ากัน เราสามารถใช้ลูกตุ้มเนื่องจากการแกว่งเล็กน้อยเกิดขึ้นในเวลาเดียวกันกับการแกว่งครั้งใหญ่ที่เกิดจากลมกระโชกแบบสุ่ม หนึ่งศตวรรษหลังจากกาลิเลโอ นาฬิกาลูกตุ้มถูกนำมาใช้ แต่กะลาสีเรือยังคงต้องการนาฬิกาที่แม่นยำเพื่อวัดลองจิจูดในทะเล มีการประกาศรางวัลสำหรับการสร้างนาฬิกาเดินเรือที่สามารถวัดเวลาได้อย่างแม่นยำเพียงพอ Garisson ได้รับรางวัลสำหรับเครื่องวัดความเที่ยงตรงซึ่งใช้มู่เล่ (ความสมดุล) และสปริงพิเศษเพื่อควบคุมการเคลื่อนไหว

ตอนนี้ให้เราได้สูตรสำหรับคาบการสั่นของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์

เมื่อลูกตุ้มแกว่งโหลดจะเคลื่อนที่ด้วยความเร่งตามแนวโค้ง BA (รูปที่ 5, a) ภายใต้อิทธิพลของแรงกลับ P 1 ซึ่งเปลี่ยนแปลงระหว่างการเคลื่อนที่

การคำนวณการเคลื่อนที่ของร่างกายภายใต้การกระทำของแรงแปรผันนั้นค่อนข้างซับซ้อน ดังนั้นเพื่อให้สิ่งต่าง ๆ ง่ายขึ้น เราจะดำเนินการดังนี้

มาทำให้ลูกตุ้มไม่แกว่งในระนาบเดียว แต่อธิบายกรวยเพื่อให้โหลดเคลื่อนที่เป็นวงกลม (รูปที่ 5, b) การเคลื่อนไหวนี้สามารถเกิดขึ้นได้จากการเพิ่มการสั่นสะเทือนอิสระสองครั้ง: อันหนึ่งยังอยู่ในระนาบของการวาดและอีกอันอยู่ในระนาบตั้งฉาก แน่นอนว่า คาบของการแกว่งของระนาบทั้งสองนี้จะเท่ากัน เนื่องจากระนาบการแกว่งใดๆ ก็ไม่แตกต่างจากที่อื่น ดังนั้นระยะเวลาของการเคลื่อนที่ที่ซับซ้อน - การหมุนของลูกตุ้มไปตามกรวย - จะเหมือนกับระยะเวลาการแกว่งในระนาบเดียว ข้อสรุปนี้สามารถอธิบายได้ง่าย ๆ จากประสบการณ์ตรงโดยการใช้ลูกตุ้มที่เหมือนกันสองตัวแล้วให้อันหนึ่งแกว่งไปในระนาบ และอีกอันหมุนไปตามกรวย

แต่คาบของการหมุนของลูกตุ้ม "ทรงกรวย" เท่ากับความยาวของวงกลมที่อธิบายโดยน้ำหนักหารด้วยความเร็ว:

หากมุมเบี่ยงเบนจากแนวตั้งมีขนาดเล็ก (แอมพลิจูดเล็ก!) เราสามารถสรุปได้ว่าแรงกลับ P 1 นั้นพุ่งไปตามรัศมีของวงกลม BC นั่นคือ เท่ากับแรงสู่ศูนย์กลาง:

ในทางกลับกัน จากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม OBC และ DBE จะได้ว่า BE: BD = CB: OB เนื่องจาก OB=l, CB=r, BE=P 1 จากนั้นจากตรงนี้

เมื่อเทียบนิพจน์ทั้งสอง P 1 เข้าด้วยกัน เราได้รับความเร็วของการไหลเวียน

ในที่สุด เมื่อแทนที่สิ่งนี้ลงในนิพจน์สำหรับคาบ T เราก็พบ

ดังนั้น คาบของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับความเร่งของแรงโน้มถ่วง g และความยาวของลูกตุ้ม l เท่านั้น นั่นคือระยะห่างจากจุดแขวนจนถึงจุดศูนย์ถ่วงของโหลด จากสูตรผลลัพธ์จะตามมาว่าคาบของลูกตุ้มไม่ได้ขึ้นอยู่กับมวลและแอมพลิจูดของมัน (โดยมีเงื่อนไขว่ามันจะน้อยพอ) กล่าวอีกนัยหนึ่ง กฎพื้นฐานที่สร้างขึ้นก่อนหน้านี้จากการสังเกตได้มาจากการคำนวณ

แต่ข้อสรุปทางทฤษฎีนี้ให้ประโยชน์มากกว่านั้น: ช่วยให้เราสามารถสร้างความสัมพันธ์เชิงปริมาณระหว่างคาบของลูกตุ้ม ความยาว และความเร่งของแรงโน้มถ่วง คาบของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์เป็นสัดส่วนกับรากที่สองของอัตราส่วนความยาวของลูกตุ้มต่อความเร่งของแรงโน้มถ่วง ตัวประกอบสัดส่วนคือ 2?

การขึ้นอยู่กับคาบของลูกตุ้มกับความเร่งของการตกอย่างอิสระนั้นขึ้นอยู่กับอย่างมาก วิธีที่แน่นอนกำหนดความเร่งนี้ ต้องวัดความยาวของลูกตุ้ม ล. และพิจารณาจาก จำนวนมากระยะเวลาการสั่น T เราสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรผลลัพธ์ g วิธีนี้ไม่ได้ใช้กันอย่างแพร่หลายในทางปฏิบัติ

พิกัดเรโซแนนซ์การสั่นของลูกตุ้ม

คำนิยาม

ลูกตุ้มคณิตศาสตร์- นี่คือระบบการแกว่งซึ่งเป็นกรณีพิเศษของลูกตุ้มทางกายภาพซึ่งมีมวลทั้งหมดรวมตัวอยู่ที่จุดหนึ่งซึ่งเป็นศูนย์กลางมวลของลูกตุ้ม

โดยปกติแล้วลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์จะแสดงเป็นลูกบอลที่แขวนอยู่บนเส้นด้ายยาวไร้น้ำหนักและยืดออกไม่ได้ นี่คือระบบในอุดมคติที่ทำการสั่นฮาร์มอนิกภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง การประมาณค่าที่ดีกับลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์คือลูกบอลขนาดเล็กขนาดใหญ่ที่แกว่งไปมาบนเกลียวยาวบางๆ

กาลิเลโอเป็นคนแรกที่ศึกษาคุณสมบัติของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์โดยตรวจสอบการแกว่งของโคมระย้าบนโซ่ยาว เขาพบว่าคาบการสั่นของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูด หากเมื่อปล่อยลูกตุ้ม หากมันเบี่ยงเบนไปในมุมเล็กๆ ที่แตกต่างกัน การแกว่งจะเกิดขึ้นในช่วงเวลาเดียวกัน แต่มีแอมพลิจูดต่างกัน คุณสมบัตินี้เรียกว่า isochronism

สมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์

ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์เป็นตัวอย่างคลาสสิกของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก มันทำการสั่นฮาร์มอนิกซึ่งอธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์:

\[\ddot(\varphi )+(\omega )^2_0\varphi =0\ \left(1\right),\]

โดยที่ $\varphi $ คือมุมเบี่ยงเบนของเกลียว (สารแขวนลอย) จากตำแหน่งสมดุล

ผลเฉลยของสมการ (1) คือฟังก์ชัน $\varphi (t):$

\[\varphi (t)=(\varphi )_0(\cos \left((\omega )_0t+\alpha \right)\left(2\right),\ )\]

โดยที่ $\alpha $ คือระยะเริ่มต้นของการแกว่ง $(\varphi )_0$ - ความกว้างของการแกว่ง; $(\omega )_0$ - ความถี่แบบวน

การแกว่งของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์เป็นตัวอย่างสำคัญของการเคลื่อนที่เป็นคาบ ออสซิลเลเตอร์ทำหน้าที่เป็นแบบจำลองในปัญหาต่างๆ มากมายของกลศาสตร์คลาสสิกและกลศาสตร์ควอนตัม

ความถี่ของวัฏจักรและคาบการสั่นของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์

ความถี่ของวัฏจักรของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับความยาวของสารแขวนลอยเท่านั้น:

\[\ (\omega )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\left(3\right).\]

คาบการสั่นของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ ($T$) ในกรณีนี้เท่ากับ:

นิพจน์ (4) แสดงให้เห็นว่าคาบของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับความยาวของสารแขวนลอยเท่านั้น (ระยะห่างจากจุดแขวนไปจนถึงจุดศูนย์ถ่วงของน้ำหนัก) และความเร่งของแรงโน้มถ่วง

สมการพลังงานสำหรับลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์

เมื่อพิจารณาการแกว่งของระบบเครื่องกลด้วยระดับความอิสระระดับหนึ่ง สิ่งเหล่านั้นมักจะถือเป็นจุดเริ่มต้น ไม่ใช่สมการการเคลื่อนที่ของนิวตัน แต่เป็นสมการพลังงาน เนื่องจากเขียนได้ง่ายกว่าและเป็นสมการอันดับหนึ่งในเวลา สมมติว่าไม่มีแรงเสียดทานในระบบ เราเขียนกฎการอนุรักษ์พลังงานสำหรับลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ที่ทำการแกว่งอย่างอิสระ (การแกว่งเล็ก ๆ ) เป็น:

โดยที่ $E_k$ คือพลังงานจลน์ของลูกตุ้ม $E_p$ คือพลังงานศักย์ของลูกตุ้ม $v$ คือความเร็วของลูกตุ้ม $x$ คือการกระจัดเชิงเส้นของน้ำหนักลูกตุ้มจากตำแหน่งสมดุลตามแนวโค้งวงกลมที่มีรัศมี $l$ ในขณะที่มุม - การกระจัดสัมพันธ์กับ $x$ ดังนี้:

\[\varphi =\frac(x)(l)\left(6\right).\]

ค่าสูงสุดของพลังงานศักย์ของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์คือ:

ค่าพลังงานจลน์สูงสุด:

โดยที่ $h_m$ คือความสูงสูงสุดของลูกตุ้ม $x_m$ คือค่าเบี่ยงเบนสูงสุดของลูกตุ้มจากตำแหน่งสมดุล $v_m=(\omega )_0x_m$ - ความเร็วสูงสุด

ตัวอย่างปัญหาพร้อมวิธีแก้ไข

ตัวอย่างที่ 1

ออกกำลังกาย.ความสูงสูงสุดของการยกลูกบอลของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์คือเท่าใด หากความเร็วการเคลื่อนที่เมื่อผ่านตำแหน่งสมดุลคือ $v$

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ

ปล่อยให้พลังงานศักย์ของลูกบอลเป็นศูนย์ที่ตำแหน่งสมดุล (จุดที่ 0) ณ จุดนี้ ความเร็วของลูกบอลจะสูงสุดและเท่ากับ $v$ ตามเงื่อนไขของปัญหา ณ จุดที่ลูกบอลลอยขึ้นสูงสุดเหนือตำแหน่งสมดุล (จุด A) ความเร็วของลูกบอลจะเป็นศูนย์ พลังงานศักย์คือสูงสุด ให้เราเขียนกฎการอนุรักษ์พลังงานสำหรับลูกบอลสองตำแหน่งที่พิจารณา:

\[\frac(mv^2)(2)=mgh\ \left(1.1\right).\]

จากสมการ (1.1) เราพบความสูงที่ต้องการ:

คำตอบ.$h=\frac(v^2)(2g)$

ตัวอย่างที่ 2

ออกกำลังกาย.ความเร่งของแรงโน้มถ่วงจะเป็นเท่าใด ถ้าลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ที่มีความยาว $l=1\ m$ แกว่งไปมาด้วยระยะเวลาเท่ากับ $T=2\ s$? พิจารณาว่าการแกว่งของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์มีค่าน้อย\textit()

สารละลาย.เพื่อเป็นพื้นฐานในการแก้ปัญหา เราใช้สูตรในการคำนวณระยะเวลาของการแกว่งเล็กน้อย:

ให้เราแสดงความเร่งจากมัน:

ลองคำนวณความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง:

คำตอบ.$g=9.87\ \frac(ม)(s^2)$

แนวคิดพื้นฐาน: การสั่นแบบหน่วง, การสั่นแบบอิสระ, การสั่นแบบไม่ถูกหน่วง, การสั่นแบบบังคับ, การสั่นด้วยตนเอง.

พลังงานกลทั้งหมดของลูกตุ้ม E คือผลรวมของศักยภาพ E p = mgh และพลังงานจลน์ E k = mυ 2 /2 พลังงาน:

E = E p + E k = mgh + mυ 2 /2 (1)

รูปที่ 1 แสดงให้เห็นการเปลี่ยนแปลงของพลังงานศักย์ของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ไปเป็นพลังงานจลน์และในทางกลับกัน

รูปที่ 1. การเปลี่ยนแปลงของพลังงานระหว่างการเคลื่อนที่แบบสั่นของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์

เมื่อลูกตุ้มอยู่ที่จุด A (จุดที่การกระจัดของลูกตุ้มจากตำแหน่งสมดุลมีค่าสูงสุด) พลังงานจลน์ของมันจะเท่ากับค่าต่ำสุด ความหมายที่เป็นไปได้- ศูนย์ - E k min = 0 และพลังงานศักย์สูงสุดและเท่ากับ E p max = mgh max ดังนั้น พลังงานกลทั้งหมดของลูกตุ้มใน t.A ตาม (1) เท่ากับ:

ที่จุด A: E = E p สูงสุด + E k นาที = mgh สูงสุด + 0 = mgh สูงสุด

เมื่อลูกตุ้มอยู่ที่จุดกึ่งกลางระหว่างจุด A (จุดที่การกระจัดของลูกตุ้มจากตำแหน่งสมดุลเป็นค่าสูงสุด) และ O (ตำแหน่งสมดุล) แล้วพลังงานกลทั้งหมด E ตาม (1) จะเท่ากับ : :

ที่จุดกึ่งกลาง: E = E p + E k = mgh + mυ 2 /2,

E p และ E k รับค่ากลางบางค่าที่มากกว่า 0 และน้อยกว่าค่าสูงสุด: E p = mgh< mgh max , Е к = mυ 2 /2 < mυ max 2 /2.

เมื่อลูกตุ้มผ่านจุด O (ตำแหน่งสมดุล) พลังงานจลน์ของมันจะสูงสุดและเท่ากับ E k max = mυ max 2 /2 และพลังงานศักย์ในทางกลับกันจะเปลี่ยนเป็นค่าศูนย์ E p = 0:

ที่จุด O: E = E p นาที + E k สูงสุด = 0 + mυ สูงสุด 2 /2.

ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะสร้างห่วงโซ่ของการเปลี่ยนแปลงของพลังงานประเภทหนึ่งไปเป็นอีกประเภทหนึ่งเมื่อลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์เคลื่อนที่จากจุดหนึ่งไปอีกจุดหนึ่ง (รูปที่ 1):

จุด A -- จุด N -- จุด O -- จุด M -- จุด B --.....

อี พี สูงสุด -- อี พี + ​​อี เค -- เอ เค สูงสุด -- อี พี + ​​อี เค -- อี พี สูงสุด -- .....

E = E p + E k = mgh + mυ 2 /2 = E k สูงสุด = mυ สูงสุด 2 /2 = E p สูงสุด = mgh สูงสุด (2)

สำหรับลูกตุ้มสปริง (รูปที่ 2) การแปลงพลังงานจะเกิดขึ้นในลักษณะเดียวกัน

ข้าว. 3. ระบบสั่นด้วยตนเอง

ไปยังบทเรียนถัดไปที่ 34: การแพร่กระจายของการสั่นในตัวกลาง คลื่น.

ไปที่บันทึกสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 9

ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ เรียกว่า ร่างเล็กๆ แขวนอยู่บนเส้นด้ายบางๆ ที่ยืดออกไม่ได้ ซึ่งมีมวลน้อยมากเมื่อเทียบกับมวลของร่างกาย. ในตำแหน่งสมดุล เมื่อลูกตุ้มห้อยดิ่ง แรงโน้มถ่วงจะสมดุลโดยแรงดึงของเกลียว เมื่อลูกตุ้มเบี่ยงเบนไปจากตำแหน่งสมดุลด้วยมุม φ องค์ประกอบสัมผัสของแรงโน้มถ่วงจะปรากฏขึ้น เอฟ τ = - มกบาป φ (รูปที่ 2.3.1) เครื่องหมายลบในสูตรนี้หมายความว่าส่วนประกอบในแนวสัมผัสมีทิศทางตรงกันข้ามกับการโก่งตัวของลูกตุ้ม

ถ้าเราแสดงโดย xการกระจัดเชิงเส้นของลูกตุ้มจากตำแหน่งสมดุลตามแนวส่วนโค้งของวงกลมรัศมี ลจากนั้นการกระจัดเชิงมุมของมันจะเท่ากับ φ = x / ล- กฎข้อที่สองของนิวตันเขียนขึ้นสำหรับการฉายเวกเตอร์ความเร่งและแรงที่เข้าสู่ทิศทางของเส้นสัมผัสกัน ให้:

ความสัมพันธ์นี้แสดงให้เห็นว่าลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์มีความซับซ้อน ไม่เชิงเส้นระบบ เนื่องจากแรงที่โน้มน้าวให้ลูกตุ้มกลับสู่ตำแหน่งสมดุลนั้นไม่เป็นสัดส่วนกับการกระจัด x, ก

เฉพาะในกรณีเท่านั้นความผันผวนเล็กน้อย เมื่อประมาณสามารถถูกแทนที่ด้วยลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์เป็นออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกกล่าวคือ ระบบที่สามารถทำการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกได้ ในทางปฏิบัติ การประมาณนี้ใช้ได้กับมุมประมาณ 15-20°; ในกรณีนี้ค่าจะต่างกันไม่เกิน 2% การแกว่งของลูกตุ้มที่แอมพลิจูดขนาดใหญ่ไม่ฮาร์มอนิก

สำหรับการแกว่งเล็กน้อยของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ กฎข้อที่สองของนิวตันจะถูกเขียนในรูปแบบ

ดังนั้นความเร่งในวงสัมผัส กτ ของลูกตุ้มเป็นสัดส่วนกับการกระจัด x, ถ่ายด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม. นี่เป็นเงื่อนไขที่ระบบเป็นฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์อย่างแม่นยำ โดย กฎทั่วไปสำหรับทุกระบบที่สามารถทำการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกอิสระได้ โมดูลัสของสัมประสิทธิ์สัดส่วนระหว่างความเร่งและการกระจัดจากตำแหน่งสมดุลจะเท่ากับกำลังสองของความถี่วงกลม:

สูตรนี้แสดงออกถึง ความถี่ธรรมชาติของการสั่นเล็กน้อยของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ .

เพราะฉะนั้น,

วัตถุใดๆ ที่ติดตั้งบนแกนหมุนแนวนอนสามารถแกว่งอย่างอิสระในสนามโน้มถ่วงได้ และดังนั้นจึงเป็นลูกตุ้มด้วย ลูกตุ้มดังกล่าวมักเรียกว่า ทางกายภาพ (รูปที่ 2.3.2) มันแตกต่างจากคณิตศาสตร์เพียงในเรื่องการกระจายตัวของมวลเท่านั้น ในตำแหน่งสมดุลที่มั่นคงซึ่งเป็นศูนย์กลางมวล คลูกตุ้มทางกายภาพอยู่ใต้แกนหมุน O บนแนวตั้งที่ผ่านแกน เมื่อลูกตุ้มถูกเบี่ยงเบนไปในมุม φ โมเมนต์ของแรงโน้มถ่วงจะเกิดขึ้น โดยมีแนวโน้มที่จะทำให้ลูกตุ้มกลับสู่ตำแหน่งสมดุล:

ที่นี่ ง- ระยะห่างระหว่างแกนหมุนกับจุดศูนย์กลางมวล ค.

เครื่องหมายลบในสูตรนี้ตามปกติหมายความว่าโมเมนต์แห่งแรงมีแนวโน้มที่จะหมุนลูกตุ้มไปในทิศทางตรงกันข้ามกับการเบี่ยงเบนไปจากตำแหน่งสมดุล เช่นเดียวกับในกรณีของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ โมเมนต์ที่กลับมา มสัดส่วน ซึ่งหมายความว่าเฉพาะในมุมเล็กๆ เท่านั้นที่ลูกตุ้มทางกายภาพสามารถทำการสั่นฮาร์มอนิกอิสระได้ ในกรณีที่มีความผันผวนเล็กน้อย

และกฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับลูกตุ้มทางกายภาพก็มีรูปแบบนี้

โดยที่ ε คือความเร่งเชิงมุมของลูกตุ้ม ฉัน- โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกตุ้มสัมพันธ์กับแกนหมุน โอ- โมดูลัสของสัมประสิทธิ์สัดส่วนระหว่างความเร่งและการกระจัดเท่ากับกำลังสองของความถี่วงกลม:

ที่นี่ ω 0 - ความถี่ธรรมชาติของการสั่นเล็กน้อยของลูกตุ้มทางกายภาพ .

เพราะฉะนั้น,

ที่มาของสูตรที่เข้มงวดมากขึ้นสำหรับ ω 0 และ ตสามารถทำได้หากเราคำนึงถึงความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างความเร่งเชิงมุมและการกระจัดเชิงมุม: ความเร่งเชิงมุม ε เป็นอนุพันธ์อันดับสองของการกระจัดเชิงมุม φ เทียบกับเวลา:

ดังนั้นสมการที่แสดงกฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับลูกตุ้มเชิงฟิสิกส์สามารถเขียนได้ในรูปแบบ

นี่คือสมการของการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกอิสระ

ค่าสัมประสิทธิ์ในสมการนี้หมายถึงกำลังสองของความถี่วงกลมของการแกว่งของฮาร์มอนิกอิสระของลูกตุ้มทางกายภาพ

ตามทฤษฎีบทการแปลแกนการหมุนแบบขนาน (ทฤษฎีบทของสไตเนอร์) โมเมนต์ความเฉื่อย ฉันสามารถแสดงออกผ่านโมเมนต์ความเฉื่อยได้ ฉันคสัมพันธ์กับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล คลูกตุ้มและแกนหมุนขนาน:

ในที่สุด สำหรับความถี่วงกลม ω 0 ของการแกว่งอิสระของลูกตุ้มทางกายภาพ จะได้นิพจน์ต่อไปนี้:

กับภาพหน้าจอการแสวงหาเกี่ยวกับคำจำกัดความมันดาวเคราะห์