A matematikai inga teljes mechanikai energiájának képlete. Matematikai inga: periódus, gyorsulás és képletek

A technológiában és a minket körülvevő világban gyakran kell megküzdenünk időszakos(vagy szinte időszakos) rendszeres időközönként ismétlődő folyamatok. Az ilyen folyamatokat ún oszcilláló.

Az oszcilláció az egyik leggyakoribb folyamat a természetben és a technológiában. Rovarok és madarak szárnyai repülés közben, sokemeletes épületek és nagyfeszültségű vezetékek a szél hatására a tekercs óra és az autó ingája a rugókon vezetés közben, a folyó vízszintje egész évben és az emberi test hőmérséklete betegség esetén, a hang a levegő sűrűségének és nyomásának ingadozása, a rádióhullámok periodikusak elektromos és mágneses mezők erősségének változása, a látható fény is elektromágneses rezgés, csak némileg eltérő hullámhosszúsággal és frekvenciával, földrengések - talajrezgések, pulzusok - az emberi szívizom időszakos összehúzódásai stb.

A rezgések lehetnek mechanikai, elektromágneses, kémiai, termodinamikai és sok egyéb. A sokféleség ellenére mindegyikben sok a közös.

A különféle fizikai természetű oszcillációs jelenségekre általános törvények vonatkoznak. Például egy elektromos áramkörben az áramingadozások és a matematikai inga rezgései ugyanazokkal az egyenletekkel írhatók le. Az oszcillációs minták közössége lehetővé teszi, hogy a különböző természetű oszcillációs folyamatokat egyetlen nézőpontból vizsgáljuk. Az oszcilláló mozgás jele annak periodicitás.

Mechanikus rezgések -Ezpontosan vagy megközelítőleg szabályos időközönként ismétlődő mozgások.

Az egyszerű oszcillációs rendszerek példái a rugó terhelése (rugóinga) vagy a húron lévő golyó (matematikai inga).

A mechanikai rezgések során a kinetikai és a potenciális energiák periodikusan változnak.

at maximális eltérés test egyensúlyi helyzetéből, sebességéből, és ezért mozgási energia menj a nullára. Ebben a pozícióban potenciális energia oszcilláló test eléri a maximális értéket. A rugó terhelésénél a potenciális energia a rugó rugalmas alakváltozásának energiája. Egy matematikai ingánál ez a Föld gravitációs mezőjének energiája.

Amikor egy test mozgásában áthalad egyensúlyi helyzet, sebessége maximális. A test a tehetetlenség törvénye szerint túllép az egyensúlyi helyzeten. Jelen pillanatban megvan maximális kinetikus és minimális potenciális energia. A kinetikus energia növekedése a potenciális energia csökkenése miatt következik be.

További mozgással a potenciális energia növekedni kezd a kinetikus energia csökkenése miatt stb.

Így a harmonikus rezgések során a kinetikus energia periodikus átalakulása potenciális energiává és fordítva történik.

Ha az oszcillációs rendszerben nincs súrlódás, akkor a mechanikai rezgések során a teljes mechanikai energia változatlan marad.

Rugóterheléshez:

Maximális elhajlási helyzetben teljes energia az inga egyenlő a deformált rugó potenciális energiájával:

Az egyensúlyi helyzeten való áthaladáskor a teljes energia megegyezik a terhelés kinetikai energiájával:

Matematikai inga kis oszcillációihoz:

A maximális eltérés helyén az inga összenergiája megegyezik a h magasságba emelt test potenciális energiájával:

Az egyensúlyi helyzeten áthaladva a teljes energia megegyezik a test mozgási energiájával:

Itt h m- az inga legnagyobb magassága a Föld gravitációs terében, x més υ m = ω 0 x m– az inga egyensúlyi helyzetétől való eltérésének maximális értékei és sebessége.

Harmonikus rezgések és jellemzőik. A harmonikus rezgés egyenlete.

Az oszcillációs folyamatok legegyszerűbb típusai egyszerűek harmonikus rezgések, amelyeket az egyenlet ír le

x = x m cos(ω t + φ 0).

Itt x- a test elmozdulása az egyensúlyi helyzetből,
x m– az oszcilláció amplitúdója, vagyis az egyensúlyi helyzetből való legnagyobb elmozdulás,
ω – ciklikus vagy körkörös frekvencia habozás,
t- idő.

Az oszcillációs mozgás jellemzői.

Eltolás x – egy oszcilláló pont eltérése az egyensúlyi helyzetétől. A mértékegység 1 méter.

Oszcillációs amplitúdó A – egy oszcilláló pont maximális eltérése egyensúlyi helyzetétől. A mértékegység 1 méter.

Oszcillációs periódusT– az a minimális időintervallum, amely alatt egy teljes rezgés bekövetkezik. A mértékegység 1 másodperc.

T=t/N

ahol t az oszcilláció ideje, N az ezen idő alatt végrehajtott rezgések száma.

A harmonikus rezgések grafikonjából meghatározható a rezgések periódusa és amplitúdója:

Oszcillációs frekvencia ν – fizikai mennyiség, számával egyenlő oszcillációk időegységenként.

ν=N/t

A frekvencia az oszcillációs periódus reciproka:

Frekvencia oszcillációk ν megmutatja, hogy hány rezgés fordul elő 1 s alatt A frekvencia mértékegysége az hertz(Hz).

Ciklikus frekvencia ω– oszcillációk száma 2π másodpercben.

A ν rezgési frekvencia összefügg azzal ciklikus frekvencia ωés az oszcillációs periódus T arányok:

Fázis harmonikus folyamat - a harmonikus rezgések egyenletében a szinusz vagy koszinusz elője alatt lévő mennyiség φ = ω t + φ 0 . at t= 0 φ = φ 0 tehát φ 0 hívott kezdeti fázis.

Harmonikus gráf szinusz vagy koszinusz hullámot jelent.

Mindhárom esetben kék görbék esetén φ 0 = 0:

csak nagyobb amplitúdó(x" m > x m);

a piros görbe különbözik a kéktől csak jelentése időszak(T" = T/2);

a piros görbe különbözik a kéktől csak jelentése kezdeti fázis(boldog).

Amikor egy test egy egyenes mentén (tengely ÖKÖR) a sebességvektor mindig ezen egyenes mentén irányul. A test mozgási sebességét a kifejezés határozza meg

A matematikában az eljárás a Δх/Δt arány Δ-nél való határértékének meghatározására t→ 0-t a függvény deriváltjának kiszámításának nevezzük x(t) idő szerint tés úgy jelöljük x"(t).A sebesség egyenlő az x() függvény deriváltjával t) idő szerint t.

A harmonikus mozgástörvényhez x = x m cos(ω t+ φ 0) a derivált kiszámítása a következő eredményhez vezet:

υ X =x"(t)= ω x m bűn (ω t + φ 0)

A gyorsulás meghatározása hasonló módon történik egy x testek harmonikus rezgések során. Gyorsulás a egyenlő a υ( függvény deriváltjával t) idő szerint t, vagy a függvény második deriváltja x(t). A számítások a következőket adják:

és x =υ x "(t) =x""(t)= -ω 2 x m cos(ω t+ φ 0)=-ω 2 x

A mínusz jel ebben a kifejezésben azt jelenti, hogy a gyorsulás a(t) mindig az elmozdulás jelével ellentétes előjellel rendelkezik x(t), ezért Newton második törvénye szerint a testet harmonikus rezgések végrehajtására késztető erő mindig az egyensúlyi helyzet felé irányul ( x = 0).

Az ábra a harmonikus rezgéseket végző test koordinátáit, sebességét és gyorsulását ábrázolja.

A harmonikus rezgéseket végző test x(t) koordinátáinak, υ(t) sebességének és a(t) gyorsulásának grafikonjai.

Rugós inga.

Rugós ingavalamilyen m tömegű terhelés egy k merevségű rugóra erősítve, amelynek második vége szilárdan rögzített.

Természetes frekvencia A rugó terhelésének ω 0 szabad rezgését a következő képlet határozza meg:

Időszak T a rugó terhelésének harmonikus rezgései egyenlő

Ez azt jelenti, hogy a rugóinga lengési ideje a terhelés tömegétől és a rugó merevségétől függ.

Az oszcillációs rendszer fizikai tulajdonságai csak az ω 0 rezgések sajátfrekvenciáját és periódusát határozza meg T . Az oszcillációs folyamat paraméterei, mint például az amplitúdó x més a φ 0 kezdeti fázist az határozza meg, ahogyan a rendszert a kezdeti időpillanatban kihozták az egyensúlyból.

Matematikai inga.

Matematikai ingavékony, nyújthatatlan fonalra felfüggesztett kis testnek nevezzük, amelynek tömege a test tömegéhez képest elhanyagolható.

Egyensúlyi helyzetben, amikor az inga függőlegesen lóg, a gravitációs erőt az N menet feszítőereje egyensúlyozza ki. Ha az ingát egy bizonyos φ szöggel eltérítjük az egyensúlyi helyzetétől, megjelenik a gravitációs erő érintőleges összetevője. F τ = – mg sin φ. A mínusz jel ebben a képletben azt jelenti, hogy az érintőleges komponens az inga kitérésével ellentétes irányba van irányítva.

Matematikai inga.φ – az inga szögeltérése az egyensúlyi helyzettől,

x= lφ – az inga elmozdulása az ív mentén

A matematikai inga kis oszcillációinak természetes frekvenciáját a következő képlet fejezi ki:

A matematikai inga lengési periódusa:

Ez azt jelenti, hogy a matematikai inga lengési periódusa a menet hosszától és a gyorsulástól függ. szabadesés az a terület, ahol az inga fel van szerelve.

Szabad és kényszer rezgések.

A mechanikai rezgések, mint bármely más fizikai természetű oszcillációs folyamat, lehetnek ingyenesÉs kényszerű.

Szabad rezgések -Ezek olyan oszcillációk, amelyek a rendszerben belső erők hatására lépnek fel, miután a rendszert eltávolították a stabil egyensúlyi helyzetből.

A rugón lévő súly rezgései vagy az inga lengései szabad rezgések.

Annak érdekében, hogy szabad rezgések harmonikus törvény szerint végrehajtva szükséges, hogy a testet az egyensúlyi helyzetbe visszahozni igyekvő erő arányos legyen a test egyensúlyi helyzetből való elmozdulásával, és az elmozdulással ellentétes irányba irányuljon.

IN valós körülmények bármely oszcillációs rendszer súrlódási erők (ellenállás) hatása alatt áll. Sőt, rész mechanikai energiaátváltozik belső energia az atomok és molekulák hőmozgása és rezgései válnak elhalványul.

Elhalványulás oszcillációnak nevezzük, amelynek amplitúdója idővel csökken.

Az oszcillációk elhalványulásának megakadályozása érdekében a rendszert többletenergiával kell ellátni, pl. periodikus erővel befolyásolni az oszcillációs rendszert (például hintázni).

A külső, periodikusan változó erő hatására fellépő oszcillációkat nevezzükkényszerű.

Egy külső erő pozitív munkát végez, és energiaáramlást biztosít az oszcillációs rendszernek. Nem engedi a rezgések elhalását, a súrlódási erők hatása ellenére.

Egy periodikus külső erő idővel változhat különböző törvények szerint. Különösen érdekes az az eset, amikor egy ω frekvenciájú harmonikus törvény szerint változó külső erő olyan rezgőrendszerre hat, amely bizonyos ω 0 frekvencián képes saját rezgéseit végrehajtani.

Ha szabad rezgések lépnek fel ω 0 frekvencián, amelyet a rendszer paraméterei határoznak meg, akkor állandó kényszerrezgések mindig fordulnak elő frekvencia ω külső erő .

A kényszerrezgések amplitúdójának meredek növekedésének jelenségét, amikor a természetes rezgések gyakorisága egybeesik a külső hajtóerő frekvenciájával, ún.rezonancia.

Amplitúdó függés x m a hajtóerő ω frekvenciájából származó kényszerrezgéseket nevezzük rezonáns jellemző vagy rezonancia görbe.

Rezonancia görbék különböző csillapítási szinteken:

1 – súrlódás nélküli oszcillációs rendszer; rezonancián a kényszerrezgések x m amplitúdója korlátlanul növekszik;

2, 3, 4 – valós rezonanciagörbék különböző súrlódású oszcillációs rendszerekre.

Súrlódás hiányában a rezonancia alatti kényszerrezgések amplitúdójának korlátlanul kell növekednie. Valós körülmények között az állandósult állapotú kényszerrezgések amplitúdóját az a feltétel határozza meg: a külső erő rezgési periódus alatti munkájának meg kell egyeznie a súrlódás miatti mechanikai energiaveszteséggel. Minél kisebb a súrlódás, annál nagyobb a rezonancia során fellépő kényszerrezgések amplitúdója.

A rezonancia jelensége hidak, épületek és egyéb építmények tönkretételét okozhatja, ha ezek rezgéseinek sajátfrekvenciája periodikusan egybeesik a frekvenciával ható erő, amely például egy kiegyensúlyozatlan motor forgása miatt keletkezett.

CÉL: kísérletileg tesztelni a transzlációs-forgó mozgás energiamaradásának törvényét Maxwell-ingán; energia és kinematikai összefüggések segítségével határozza meg az inga transzlációs mozgásának sebességét, és hasonlítsa össze őket.

FELSZERELÉS: Maxwell inga cserélhető gyűrűkkel; elektronikus stopperóra.

AZ ELMÉLETI ALAPOK

Az anyag mozgásának legáltalánosabb mértéke az energia. A mechanikában a testek mechanikai mozgásának megfelelő mechanikai energia. Kétféle mechanikai energia létezik: kinetikus és potenciális energia.

Potenciális energia. Energia meghatározott relatív helyzete kölcsönható testeket és csak a koordinátáktól függően potenciálisnak nevezzük. Munka A 12 , amelyet konzervatív erők hajtanak végre, amikor egy rendszert egyik állapotból a másikba visznek át, egyenlő a potenciális energia elvesztésével ezekben az állapotokban .

A 12 = W 1 - W 2, (1)

Ahol W 1 És W 2 rendre a rendszer potenciális energiája 1. és 2. állapotban.

A potenciális energia konkrét típusa az erőtér természetétől függ. A gravitáció terén egy tömegű test potenciális energiája m a következő formában van:

W = m g h , (2)

Ahol g szabadesés gyorsulása;

h  magasság attól a szinttől mérve, ahol a potenciális energia W=0.

Kinetikus energia. Ez az az energia, amellyel egy test (vagy testek rendszere) a mozgásuk következtében rendelkezik. Ha egy test sebességgel halad előre vés egyidejűleg egy bizonyos tengely körül forog szögsebességgel  , akkor a mozgásának teljes kinetikus energiája egyenlő:

Ahol m-testsúly;

éntehetetlenségi nyomaték.

Mint látható, a forgó mozgás során a lineáris sebesség szerepét a szögsebesség, a tömeg szerepét pedig a tehetetlenségi nyomaték játssza. Lendület én nemcsak a tömegtől függ, hanem ennek a tömegnek a forgástengelyhez viszonyított eloszlásától is. Jelentése én mert egyes szabályos geometriai alakú testek (hosszú rúd, korong, golyó, henger) megtalálhatók az általános fizika tankönyveiben.

Az energiamegmaradás törvénye. Egy zárt testrendszer mechanikai energiája, amelyek között konzervatív erők hatnak, állandó marad. Az ilyen rendszerekben, amikor egy test mozog, a mozgási energia potenciális energiává alakul, és fordítva, és a teljes energia állandó marad. (A konzervatív erők közé tartoznak a gravitációs, rugalmas, Coulomb stb. erők. A nem konzervatív erők a súrlódási, ellenállási, rugalmatlan alakváltozási erők.).

A mechanikai energia a nyitott rendszerekben is megmarad, ha a külső erők nem végeznek munkát, mivel az energia mértéke az elvégzett munka.

KÍSÉRLETI ELJÁRÁS

A test transzlációs-forgó mozgásának energiamaradásának törvényét Maxwell-ingával tesztelik. A Maxwell-inga egy tengelyre szerelt korong. A tengely viszont két menetre van felfüggesztve, amelyek a felső végén a tartókhoz vannak rögzítve.

Ezek a szálak egy tengely köré tekerhetők, és kicsavaráskor az inga transzlációs-forgó mozgást végez, pl. emelkedik és süllyed, forog.

A kísérlet során két fő állapotot azonosítottak. 1 tömegű inga állapotában m felül van h. A rendszer mechanikai energiája ebben az állapotban csak a potenciális energiával egyenlő:

E 1 = W 1 = m g h. (4)

Engedjük el az ingát. Az eredő nehézségi erők és a szál feszítése hatására a menet lefelé kezd esni (előre mozgás), és a szálak feszítőereje forgó mozgásba hozza.

Rizs. 1. Általános nézet Maxwell inga.

T- menetfeszítő erő; F g - gravitáció.

A 2. állapotban egy inga ereszkedett le a magasból h, sebességgel halad előre v, miközben a tömegközépponton átmenő tengely körül szögsebességgel forog  Ezért a 2. állapotú rendszer mechanikai energiája a transzlációs és forgó mozgás kinetikus energiáiból áll:

. (5)

Egy kiválasztott rendszerben (egy gravitációs térben lévő inga) teljesülnie kell az energiamegmaradás törvényének. A gravitáció konzervatív erő. A szál feszessége külső erő. de nem működik, mert alkalmazási pontja a helyén marad az inga kis forgatása közben. Ezért:

. (6)

Az inga transzlációs mozgásának sebessége a szögsebességhez kapcsolódik az összefüggés alapján

v = ·r, (7)

Ahol raz inga tengelyének sugara.

Ekkor a (6) képlet a következőképpen alakul:

2gh = v 2 (1+I/mr 2).

(8)

. (9)

És az inga transzlációs mozgásának sebessége a következő jelentést kapja: t Az energiamegmaradás törvényének ellenőrzéséhez számoljuk ki a sebességet egy másik független módszerrel, ismert kinematikai összefüggések segítségével. Mivel az inga mozgása egyenletesen gyorsul, akkor ha esés közben h az inga átment az úton

, gyorsulása egyenlő

a = 2 óra/t2. (10)

v Ebből adódik az inga transzlációs mozgásának sebessége a pálya végén:

= a t = 2 óra/t. (11)

A (9)-ben lévő sebesség az inga tehetetlenségi nyomatékától függ, amely a tárcsára különféle gyűrűk felszerelésével változtatható. Az inga tehetetlenségi nyomatékát a következőképpen határozzuk meg

Ahol én 0 I = I 0 + I D + I K. (12)

- a tengely tehetetlenségi nyomatéka,

- a tárcsa tehetetlenségi nyomatéka,

- a gyűrű tehetetlenségi nyomatéka, R , - a gyűrű tehetetlenségi nyomatéka, D TO

- a lemez és a gyűrű sugarai.

A gyűrű sugarát a belső és a külső sugár közötti átlagos értéknek vesszük. Mivel az inga tengelyének sugara sokkal kisebb, mint a tárcsa sugara, a tengely tehetetlenségi nyomatéka elhanyagolható.

A módszer logikai diagramja.

Ha a (9) összefüggés szerinti energiamegmaradás törvényéből meghatározott sebesség megegyezik a (11) képlet szerint kinematikailag meghatározott sebességgel, akkor ez megerősíti a kiválasztott rendszer energiamaradását.

A MUNKÁK ELKÉSZÍTÉSE

1. Mérje meg az inga esésének idejét a tanár által jelzett gyűrűk egyikével!

2. Ismételje meg a mérést 5-10 alkalommal.

3. Mérje meg az inga esésének és emelkedési magasságát!

4. Mérje meg tolómérővel az inga tengelyének átmérőjét, a gyűrű belső és külső átmérőjét.

FELDOLGOZÁSI EREDMÉNYEK 1. Számítsa ki az átlagos esési időt!  t.

és statisztikai mérési hiba 1 2. Számítsa ki a v sebességet!

a (11) összefüggés szerint.  3. Számítsa ki a sebességmérés hibáját! 1 v

a közvetett mérések hibaszámításának szabálya szerint.

4. Számítsa ki az inga tehetetlenségi nyomatékát a gyűrűvel! Rajtuk van jelölve a korong és a gyűrű tömege. 2 5. Számítsa ki az inga sebességét v

a (9) összefüggés szerint.  = ( 3. Számítsa ki a sebességmérés hibáját! 1 - 3. Számítsa ki a sebességmérés hibáját! 2 )/ 3. Számítsa ki a sebességmérés hibáját! 1 6. Határozza meg az eltérés mértékét! és hasonlítsa össze a relatív hibával 1 =  3. Számítsa ki a sebességmérés hibáját! 1 / 3. Számítsa ki a sebességmérés hibáját! 1 .

v

Határozza meg az energiaveszteséget az esés magassága és az inga későbbi emelkedési magassága közötti különbséggel.

Számítsa ki az átlagos effektív súrlódási erőt, amely energiaveszteséget okoz!

KAPCSOLATOS KÉRDÉSEK

1. Milyen típusú mechanikai energiák léteznek? Adja meg definícióikat.

2. Fogalmazza meg a rendszer mechanikai energiájának megmaradásának törvényét és megvalósításának feltételeit!

3. Ismertesse a Maxwell-inga energiatranszformációját!

4. Mekkora egy test tehetetlenségi nyomatéka? Mekkora a korong vagy a gyűrű tehetetlenségi nyomatéka?

5. Hogyan határozható meg a Maxwell-inga transzlációs mozgásának sebessége?

Alapfogalmak: csillapított oszcillációk, szabad rezgések, csillapítatlan rezgések, kényszerrezgések, önrezgések.

Az E inga teljes mechanikai energiája az E p = mgh potenciál és a kinetikai E k = mυ 2 /2 energiák összege:

E = E p + E k = mgh + mυ 2 /2. (1)

Az 1. ábra sematikusan mutatja be a matematikai inga potenciális energiájának átalakulását mozgási energiává és fordítva.

1. ábra. Az energia átalakulása a matematikai inga lengőmozgása során.

Ha az inga az A pontban van (az a pont, ahol az inga elmozdulása az egyensúlyi helyzetből a legnagyobb), akkor mozgási energiája egyenlő a minimummal lehetséges jelentése- nulla - E k min = 0, és a potenciális energia maximális és egyenlő E p max = mgh max. Így az inga teljes mechanikai energiája t.A-ban az (1) szerint egyenlő:

Az A pontban: E = E p max + E k min = mgh max + 0 = mgh max.

Ha az inga az A pont (az a pont, ahol az inga egyensúlyi helyzetből való elmozdulása a legnagyobb) és az O (egyensúlyi helyzet) közötti bármely közbenső pontban van, akkor az (1) szerinti teljes E mechanikai energiája egyenlő :

Közbenső pontokon: E = E p + E k = mgh + mυ 2 /2,

E p és E k 0-nál nagyobb és a maximális értéknél kisebb köztes értékeket vesz fel: E p = mgh< mgh max , Е к = mυ 2 /2 < mυ max 2 /2.

Amikor az inga áthalad az O ponton (egyensúlyi helyzet), akkor a mozgási energiája maximális és egyenlő E k max = mυ max 2 /2, a potenciális energia pedig most nulla értéket vesz fel E p = 0:

Az O pontban: E = E p min + E k max = 0 + mυ max 2 /2.

Így lehetséges az egyik energiafajtából a másikba való átalakulás láncolata, amikor a matematikai inga egyik pontból a másikba mozog (1. ábra):

A pont -- N pont -- O pont -- M pont -- B pont --.....

E p max -- E p + E k -- E k max -- E' p + E' k -- E p max -- .....

E = E p + E k = mgh + mυ 2 /2 = E k max = mυ max 2 /2 = E p max = mgh max (2)

Rugós inga esetében (2. ábra) az energiaátalakítás hasonló módon megy végbe.

Rizs. 3. Önoszcilláló rendszer.

Ugrás a következő 34. leckére: Rezgések terjedése közegben. Hullámok.

Ugrás a jegyzetekhez a 9. osztályhoz.

Matematikai inga vékony, nyújthatatlan fonalra felfüggesztett kis testnek nevezzük, amelynek tömege a test tömegéhez képest elhanyagolható. Egyensúlyi helyzetben, amikor az inga meredeken lóg, a gravitációs erőt kiegyenlíti a menet feszítőereje. Amikor az ingát egy bizonyos φ szöggel eltérítjük az egyensúlyi helyzettől, megjelenik a gravitációs erő érintőleges összetevője. F τ = - mg sin φ (2.3.1. ábra). A mínusz jel ebben a képletben azt jelenti, hogy az érintőleges komponens az inga kitérésével ellentétes irányba van irányítva.

Ha azzal jelöljük x az inga lineáris elmozdulása az egyensúlyi helyzetből egy sugarú körív mentén l, akkor szögelmozdulása φ = lesz x / l. Newton második törvénye, amelyet a gyorsulás- és erővektoroknak az érintő irányára vetítésére írnak, a következőket adja:

Ez az összefüggés azt mutatja, hogy a matematikai inga egy komplex nemlineáris rendszer, mivel az az erő, amely az ingát egyensúlyi helyzetbe viszi vissza, nem arányos az elmozdulással x, A

Csak abban az esetbenkis ingadozások , amikor kbhelyettesíthetőa matematikai inga harmonikus oszcillátor, azaz harmonikus rezgések végrehajtására képes rendszer. A gyakorlatban ez a közelítés 15-20°-os nagyságrendű szögekre érvényes; ebben az esetben az érték legfeljebb 2%-kal tér el. Az inga nagy amplitúdójú lengései nem harmonikusak.

A matematikai inga kis oszcillációira Newton második törvénye a következő formában van írva:

Így az érintőleges gyorsulás a Az inga τ értéke arányos az elmozdulásával x, ellenkező előjellel vettük. Pontosan ez az a feltétel, amely mellett a rendszer harmonikus oszcillátor. Által általános szabály minden szabad harmonikus rezgés végrehajtására képes rendszer esetében a gyorsulás és az egyensúlyi helyzetből való elmozdulás közötti arányossági együttható modulusa egyenlő a körfrekvencia négyzetével:

Ez a képlet kifejezi a matematikai inga kis oszcillációinak természetes frekvenciája .

Ezért,

Bármely vízszintes forgástengelyre szerelt test képes szabad oszcillációra a gravitációs térben, és ezért egyben inga is. Az ilyen ingát általában ún fizikai (2.3.2. ábra). Csak a tömegek eloszlásában tér el a matematikaitól. Stabil egyensúlyi helyzetben a tömegközéppont C a fizikai inga az O forgástengely alatt helyezkedik el a tengelyen átmenő függőlegesen. Amikor az ingát egy φ szöggel eltérítjük, gravitációs nyomaték lép fel, amely az ingát egyensúlyi helyzetbe viszi vissza:

M = -(mg sinφ) d.

Itt d- a forgástengely és a tömegközéppont közötti távolság C.

2.3.2. ábra. Fizikai inga

A mínusz jel ebben a képletben szokás szerint azt jelenti, hogy az erőnyomaték az ingát az egyensúlyi helyzettől való eltérésével ellentétes irányba forgatja. Mint a matematikai inga esetében, a visszatérő momentum M arányos Ez azt jelenti, hogy a fizikai inga csak kis szögekben képes szabad harmonikus rezgések végrehajtására. Kisebb ingadozások esetén

és Newton második törvénye a fizikai ingára ​​ezt a formát ölti

ahol ε az inga szöggyorsulása, én- az inga tehetetlenségi nyomatéka a forgástengelyhez viszonyítva O. A gyorsulás és az elmozdulás közötti arányossági együttható modulusa egyenlő a körfrekvencia négyzetével:

Itt ω 0 - a fizikai inga kis oszcillációinak természetes frekvenciája .

Ezért,

A képletek szigorúbb levezetése ω 0 és T megtehető, ha figyelembe vesszük a szöggyorsulás és a szögelmozdulás közötti matematikai összefüggést: ε szöggyorsulás a φ szögeltolódás második deriváltja az idő függvényében:

Ezért a Newton második törvényét kifejező egyenlet egy fizikai ingára ​​a formába írható

Ez a szabad harmonikus rezgések egyenlete.

Ebben az egyenletben az együttható a fizikai inga szabad harmonikus rezgésének körfrekvenciájának négyzetét jelenti.

A forgástengely párhuzamos transzlációjáról szóló tétel (Steiner-tétel) szerint a tehetetlenségi nyomaték én tehetetlenségi nyomatékon keresztül fejezhető ki énC a tömegközépponton átmenő tengelyhez képest C inga és párhuzamos forgástengely:

Végül egy fizikai inga szabad rezgésének ω 0 körfrekvenciájára a következő kifejezést kapjuk:

VELképernyőképküldetésa meghatározásrólaztbolygók

Meghatározás

Matek inga- ez egy oszcillációs rendszer, ami a fizikai inga speciális esete, amelynek teljes tömege egy pontban, az inga tömegközéppontjában összpontosul.

A matematikai ingát általában egy hosszú súlytalan és nyújthatatlan szálon felfüggesztett golyóként ábrázolják. Ez egy idealizált rendszer, amely a gravitáció hatására harmonikus rezgéseket hajt végre. A matematikai inga jó közelítése egy masszív kis golyó, amely egy vékony hosszú szálon oszcillál.

Galileo volt az első, aki a matematikai inga tulajdonságait vizsgálta egy hosszú láncon lévő csillár kilengésének vizsgálatával. Megállapította, hogy a matematikai inga lengési periódusa nem függ az amplitúdótól. Ha az inga elindításakor különböző kis szögekben téríti el, akkor a rezgései azonos időtartamú, de eltérő amplitúdójúak. Ezt a tulajdonságot izokronizmusnak nevezzük.

A matematikai inga mozgásegyenlete

A matematikai inga a harmonikus oszcillátor klasszikus példája. Harmonikus rezgéseket hajt végre, amelyeket a differenciálegyenlet ír le:

\[\ddot(\varphi )+(\omega )^2_0\varphi =0\ \left(1\right),\]

ahol $\varphi $ a menet (felfüggesztés) egyensúlyi helyzettől való eltérésének szöge.

Az (1) egyenlet megoldása a $\varphi (t):$ függvény

\[\varphi (t)=(\varphi )_0(\cos \left((\omega )_0t+\alpha \right)\left(2\right),\ )\]

ahol $\alpha $ az oszcillációk kezdeti fázisa; $(\varphi )_0$ - az oszcillációk amplitúdója; $(\omega )_0$ - ciklikus frekvencia.

A harmonikus oszcillátor rezgései a periodikus mozgás fontos példái. Az oszcillátor modellként szolgál a klasszikus és kvantummechanika számos problémájában.

A matematikai inga ciklikus frekvenciája és rezgési periódusa

A matematikai inga ciklikus frekvenciája csak a felfüggesztés hosszától függ:

\[\ (\omega )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\left(3\right).\]

A matematikai inga ($T$) rezgési periódusa ebben az esetben egyenlő:

A (4) kifejezés azt mutatja, hogy a matematikai inga időtartama csak a felfüggesztés hosszától (a felfüggesztési pont és a terhelés súlypontja közötti távolság) és a gravitáció gyorsulásától függ.

Matematikai inga energiaegyenlete

Amikor egy szabadságfokú mechanikai rendszerek rezgéseit vizsgáljuk, gyakran nem a Newton-féle mozgásegyenleteket veszik kiindulópontnak, hanem az energiaegyenletet. Mivel könnyebb összeállítani, és időben elsőrendű egyenlet. Tegyük fel, hogy a rendszerben nincs súrlódás. A szabad rezgéseket (kis rezgéseket) végrehajtó matematikai inga energiamaradásának törvényét a következőképpen írjuk fel:

ahol $E_k$ az inga mozgási energiája; $E_p$ az inga potenciális energiája; $v$ az inga sebessége; $x$ az inga súlyának lineáris elmozdulása az egyensúlyi helyzetből egy $l$ sugarú körív mentén, míg a szög - elmozdulás a $x$-hoz kapcsolódik:

\[\varphi =\frac(x)(l)\left(6\right).\]

A matematikai inga potenciális energiájának maximális értéke:

Maximális kinetikus energia érték:

ahol $h_m$ az inga maximális magassága; $x_m$ az inga maximális eltérése az egyensúlyi helyzettől; $v_m=(\omega )_0x_m$ - maximális sebesség.

Példák a megoldásokkal kapcsolatos problémákra

1. példa

Gyakorlat. Mekkora a matematikai inga golyójának maximális emelési magassága, ha mozgási sebessége az egyensúlyi helyzetben $v$ volt?

Megoldás. Készítsünk rajzot.

Legyen a labda potenciális energiája nulla az egyensúlyi helyzetében (0 pont) Ezen a ponton a labda sebessége maximális és egyenlő a feladat feltételei szerint $v$-val. A labda egyensúlyi helyzet fölé való maximális emelkedésének pontjában (A pont) a labda sebessége nulla, a potenciális energia maximális. Írjuk fel az energiamegmaradás törvényét a labda figyelembe vett két helyzetére:

\[\frac(mv^2)(2)=mgh\ \left(1,1\right).\]

Az (1.1) egyenletből megtaláljuk a kívánt magasságot:

Válasz.$h=\frac(v^2)(2g)$

2. példa

Gyakorlat. Mekkora a gravitáció gyorsulása, ha egy $l=1\ m$ hosszúságú matematikai inga $T=2\ s$ periódussal rezeg? Tekintsük a matematikai inga lengését kicsinek.\textit()

Megoldás. A probléma megoldásának alapjául a kis rezgések periódusának kiszámítására szolgáló képletet vesszük:

Fejezzük ki belőle a gyorsulást:

Számítsuk ki a gravitációs gyorsulást:

Válasz.$g=9,87\ \frac(m)(s^2)$