Matematičko klatno je materijalna tačka okačena na bestežinsku i nerastezljivu nit koja se nalazi u Zemljinom gravitacionom polju. Matematičko klatno je idealizirani model koji ispravno opisuje stvarno klatno samo pod određenim uvjetima. Pravo klatno se može smatrati matematičkim ako je dužina niti mnogo veća od veličine tijela okačenog na njemu, masa niti je zanemariva u odnosu na masu tijela, a deformacije niti su tako male da se mogu potpuno zanemariti.

Oscilatorni sistem u u ovom slučaju formiraju nit, za nju vezano tijelo i Zemlju, bez kojih ovaj sistem ne bi mogao služiti kao klatno.

Gdje A X – ubrzanje, g – ubrzanje slobodnog pada, X- pomjeranje, l– dužina navoja klatna.

Ova jednačina se zove jednadžba slobodnih oscilacija matematičkog klatna. Ona ispravno opisuje dotične vibracije samo kada su ispunjene sljedeće pretpostavke:

2) razmatraju se samo male oscilacije klatna sa malim uglom zamaha.

Slobodne vibracije bilo kojeg sistema su u svim slučajevima opisane sličnim jednačinama.

Uzroci slobodnih oscilacija matematičkog klatna su:

1. Djelovanje napetosti i gravitacije na klatno, sprječavajući ga da se pomakne iz ravnotežnog položaja i prisiljavajući ga da ponovo padne.

2. Inercija klatna, zbog koje se ono, održavajući svoju brzinu, ne zaustavlja u ravnotežnom položaju, već prolazi kroz njega dalje.

Period slobodnih oscilacija matematičkog klatna

Period slobodnih oscilacija matematičkog klatna ne zavisi od njegove mase, već je određen samo dužinom niti i ubrzanjem slobodan pad na mestu gde se nalazi klatno.

Konverzija energije tokom harmonijskih oscilacija

Prilikom harmonijskih oscilacija opružnog klatna, potencijalna energija elastično deformisanog tijela pretvara se u njegovu kinetičku energiju, pri čemu se k – koeficijent elastičnosti, X - modul pomaka klatna iz ravnotežnog položaja, m- masa klatna, v- njegovu brzinu. Prema jednadžbi harmonijskih vibracija:

, .

Ukupna energija opružnog klatna:

.

Ukupna energija za matematičko klatno:

U slučaju matematičkog klatna

Transformacije energije pri oscilacijama opružnog klatna odvijaju se u skladu sa zakonom održanja mehaničke energije ( ). Kada se klatno kreće dole ili gore iz svog ravnotežnog položaja, njegova potencijalna energija raste, a kinetička energija opada. Kada klatno prođe ravnotežni položaj ( X= 0), njegova potencijalna energija je nula, a kinetička energija klatna ima najveću vrijednost, jednaku njegovoj ukupnoj energiji.

Dakle, u procesu slobodnih oscilacija klatna, njegova potencijalna energija pretvara se u kinetičko, kinetičko u potencijalno, potencijalno pa opet u kinetičko, itd. Ali potpuno mehanička energija međutim, ostaje nepromijenjen.

Prisilne vibracije. Rezonancija.

Oscilacije koje nastaju pod uticajem vanjske periodične sile nazivaju se prisilne oscilacije. Eksterna periodična sila, nazvana prisiljavanje, prenosi se na oscilatorni sistem dodatnu energiju, koji ide na nadoknadu gubitaka energije koji nastaju zbog trenja. Ako se pokretačka sila mijenja tokom vremena prema zakonu sinusa ili kosinusa, tada će prisilne oscilacije biti harmonijske i neprigušene.

Za razliku od slobodnih oscilacija, kada sistem primi energiju samo jednom (kada je sistem doveden iz ravnoteže), u slučaju prinudnih oscilacija sistem apsorbuje ovu energiju iz izvora spoljne periodične sile kontinuirano. Ova energija nadoknađuje gubitke utrošene na savladavanje trenja, te stoga ukupna energija oscilatornog sistema i dalje ostaje nepromijenjena.

Frekvencija prisilnih oscilacija jednaka je frekvenciji pokretačke sile. U slučaju kada je frekvencija pokretačke sile υ poklapa se sa prirodnom frekvencijom oscilatornog sistema υ 0 , dolazi do naglog povećanja amplitude prisilnih oscilacija - rezonancija. Rezonancija nastaje zbog činjenice da kada υ = υ 0 vanjska sila, koja djeluje u vremenu sa slobodnim vibracijama, uvijek je usklađena sa brzinom oscilirajućeg tijela i obavlja pozitivan rad: energija oscilirajućeg tijela se povećava, a amplituda njegovih oscilacija postaje velika. Grafikon amplitude prisilnih oscilacija A T na frekvenciju pokretačke sile υ prikazan na slici, ovaj grafikon se zove rezonantna kriva:

Fenomen rezonancije igra važnu ulogu u nizu prirodnih, naučnih i industrijskih procesa. Na primjer, potrebno je uzeti u obzir fenomen rezonancije pri projektovanju mostova, zgrada i drugih konstrukcija koje doživljavaju vibracije pod opterećenjem, u inače pod određenim uslovima ove strukture mogu biti uništene.

Ako se tijelo pričvršćeno na oprugu (slika 4) odmakne od ravnotežnog položaja za udaljenost A, na primjer, ulijevo, tada će se, prošavši kroz ravnotežni položaj, skrenuti udesno. Ovo proizilazi iz zakona održanja energije.

Potencijalna energija sabijene ili rastegnute opruge jednaka je

gdje je k krutost opruge, a x njeno izduženje. U krajnjem lijevom položaju, produžetak opruge je x = - A, dakle, potencijalna energija je jednaka

Kinetička energija u ovom trenutku je nula jer je brzina nula. To znači da je potencijalna energija ukupna mehanička energija sistema u ovom trenutku. Ako se složimo da je sila trenja nula i da su druge sile uravnotežene, onda se naš sistem može smatrati zatvorenim i njegov ukupna energija ne može se promijeniti prilikom kretanja. Kada je tijelo tokom svog kretanja u krajnjem desnom položaju (x = A), njegovo kinetička energija opet će biti jednaka nuli i ukupna energija će opet biti jednaka potencijalu. Ali ukupna energija se ne može promijeniti. Dakle, opet je jednako

To znači da će tijelo odstupiti udesno za udaljenost jednaku A.

U ravnotežnom položaju, naprotiv, potencijalna energija je nula jer opruga nije deformisana, x = 0. U ovom položaju ukupna energija tijela jednaka je njegovoj kinetičkoj energiji

gdje je m masa tijela i njegova brzina (u ovom trenutku je maksimalna). Ali i ova kinetička energija mora imati jednaku vrijednost. Shodno tome, tokom oscilatornog kretanja, kinetička energija se pretvara u potencijalnu i obrnuto. U bilo kojoj tački između položaja ravnoteže i maksimalnog odstupanja, tijelo ima i kinetičku i potencijalnu energiju, ali njihov zbir, tj. Ukupna energija u bilo kojem položaju tijela je jednaka. Ukupna mehanička energija W oscilirajućeg tijela proporcionalna je kvadratu amplitude i njegovih oscilacija

Klatna. Matematičko klatno

Klatno je bilo koje tijelo ovješeno tako da mu je težište ispod tačke vješanja. To znači da je teret okačen na užetu oscilatorni sistem sličan klatnu zidni sat. Svaki sistem sposoban za slobodne oscilacije ima stabilan položaj ravnoteže. Za klatno, ovo je položaj u kojem se centar gravitacije nalazi okomito ispod tačke ovjesa. Uklonimo li klatno iz ovog položaja ili ga gurnemo, ono će početi oscilirati, odstupajući prvo u jednom ili drugom smjeru od ravnotežnog položaja. Znamo to najveće odstupanje iz ravnotežnog položaja do kojeg klatno doseže naziva se amplituda oscilacija. Amplituda je određena početnim otklonom ili guranjem kojim se klatno pokrenulo. Ovo svojstvo - zavisnost amplitude od uslova na početku kretanja - karakteristično je ne samo za slobodne oscilacije klatna, već i za slobodne oscilacije mnogih oscilatornih sistema uopšte.

Period oscilovanja fizičkog klatna zavisi od mnogih okolnosti: od veličine i oblika tela, od udaljenosti između težišta i tačke vešanja i od raspodele mase tela u odnosu na ovu tačku; tako da je izračunavanje perioda visećeg tela prilično težak zadatak. Situacija je jednostavnija za matematičko klatno. Matematičko klatno je uteg obješen na tanku nit, čije su dimenzije mnogo manje od dužine niti, a njegova masa je mnogo veća od mase niti. To znači da tijelo (opterećenje) i konac moraju biti takvi da se opterećenje može smatrati materijalnom točkom, a konac bez težine. Iz posmatranja takvih klatna mogu se ustanoviti sledeći jednostavni zakoni.

1. Ako, održavajući istu dužinu klatna (udaljenost od tačke ovjesa do centra gravitacije tereta), objesite različite terete, tada će period oscilacije biti isti, iako su mase opterećenja su veoma različita. Period matematičkog klatna ne zavisi od mase tereta.

2. Sila koja djeluje na tijelo u bilo kojoj tački putanje usmjerena je prema ravnotežnom položaju, a u samoj tački ravnoteže jednaka je nuli.

3. Sila je proporcionalna odstupanju tijela od ravnotežnog položaja.

Rice. 5.

4. Ako ga pri pokretanju klatna skrenemo pod različitim (ali ne prevelikim) uglovima, ono će oscilirati sa istim periodom, ali sa različitim amplitudama. Sve dok amplitude nisu prevelike, oscilacije su po svom obliku prilično bliske harmonijskim, a period matematičkog klatna ne zavisi od amplitude oscilacija. Ovo svojstvo se naziva izohronizam (od grčkih riječi “isos” - jednak, "chronos" - vrijeme).

Ovu činjenicu je prvi put utvrdio Galileo 1655. godine, navodno pod sljedećim okolnostima. Galileo je u katedrali u Pizi posmatrao ljuljanje lustera (u pravoslavnoj crkvi, centralnog lustera, kandila sa mnogo sveća ili lampi) na dugačkom lancu, koji se gurao kada je upaljen. Tokom službe, zamasi su postepeno blijedili (poglavlje 8), odnosno smanjivala se amplituda zamaha, ali je period ostao isti. Galileo je koristio svoj puls kao indikator vremena.

Ovo svojstvo klatna pokazalo se ne samo iznenađujućim, već i korisnim. Galileo je predložio korištenje klatna kao regulatora u satu. U Galilejevo vrijeme satove je pokretala težina, a za podešavanje brzine korištena je sirova naprava poput lopatica vjetrenjače, koja je koristila otpor zraka. Za brojanje jednakih vremenskih perioda moglo bi se koristiti klatno, jer se male oscilacije javljaju u isto vrijeme kada i velike uzrokovane nasumičnim udarima vjetra. Stoljeće nakon Galileja, u upotrebu su ušli satovi s klatnom, ali su pomorcima i dalje bili potrebni precizni satovi za mjerenje geografske dužine na moru. Raspisana je nagrada za izradu pomorskog sata koji bi omogućio dovoljno precizno mjerenje vremena. Garisson je dobio nagradu za hronometar u kojem su korišteni zamajac (balans) i posebna opruga za regulaciju kretanja.

Hajde da sada izvedemo formulu za period oscilovanja matematičkog klatna.

Kada se klatno zanjiha, teret se ubrzano kreće duž luka BA (slika 5, a) pod uticajem povratne sile P 1, koja se menja tokom kretanja.

Izračunavanje kretanja tijela pod djelovanjem promjenjive sile prilično je komplicirano. Stoga, da pojednostavimo stvari, postupit ćemo na sljedeći način.

Učinimo da klatno ne oscilira u jednoj ravni, već opiše konus tako da se teret kreće kružno (slika 5, b). Ovo kretanje se može dobiti kao rezultat sabiranja dvije nezavisne vibracije: jedne - još uvijek u ravnini crteža, a druge - u okomitoj ravnini. Očigledno, periodi obe ove ravninske oscilacije su isti, budući da se ni jedna ravan oscilovanja ne razlikuje od bilo koje druge. Posljedično, period složenog kretanja - rotacija klatna duž konusa - bit će isti kao period ljuljanja u jednoj ravni. Ovaj zaključak se može lako ilustrirati direktnim iskustvom uzimajući dva identična klatna i jednom od njih dajući zamah u ravni, a drugom rotaciju duž konusa.

Ali period okretanja "konusnog" klatna jednak je dužini kruga opisanog teretom, podijeljenom sa brzinom:

Ako je ugao odstupanja od vertikale mali (male amplitude!), onda možemo pretpostaviti da je povratna sila P 1 usmjerena duž polumjera kružnice BC, tj. jednaka centripetalnoj sili:

S druge strane, iz sličnosti trouglova OBC i DBE slijedi da je BE: BD = CB: OB. Pošto je OB=l, CB=r, BE=P 1, onda odavde

Izjednačavajući oba izraza P 1 jedan s drugim, dobijamo brzinu cirkulacije

Konačno, zamjenom ovoga u izraz za period T, nalazimo

Dakle, period matematičkog klatna zavisi samo od ubrzanja gravitacije g i od dužine klatna l, odnosno udaljenosti od tačke vešanja do centra gravitacije tereta. Iz rezultirajuće formule proizlazi da period klatna ne zavisi od njegove mase i amplitude (pod uslovom da je dovoljno mali). Drugim rečima, osnovni zakoni koji su prethodno utvrđeni posmatranjem dobijeni su proračunom.

Ali ovaj teorijski zaključak nam daje više: omogućava nam da uspostavimo kvantitativni odnos između perioda klatna, njegove dužine i ubrzanja gravitacije. Period matematičkog klatna je proporcionalan kvadratnom korijenu omjera dužine klatna i ubrzanja gravitacije. Koeficijent proporcionalnosti je 2?.

Zavisnost perioda klatna od ubrzanja slobodnog pada je u velikoj meri zasnovana tačan način određivanje ovog ubrzanja. Izmjerivši dužinu klatna l i odredivši iz veliki broj period oscilacije T, možemo izračunati koristeći rezultujuću formulu g. Ova metoda se ne koristi široko u praksi.

koordinata rezonancije oscilacije klatna

Definicija

Matematičko klatno- ovo je oscilatorni sistem, koji je poseban slučaj fizičkog klatna, čija je cijela masa koncentrisana u jednoj tački, centru mase klatna.

Obično se matematičko klatno predstavlja kao lopta okačena na dugačku bestežinsku i nerastegljivu nit. Ovo je idealizovan sistem koji vrši harmonijske oscilacije pod uticajem gravitacije. Dobra aproksimacija matematičkom klatnu je masivna mala lopta koja oscilira na tankoj dugoj niti.

Galileo je bio prvi koji je proučavao svojstva matematičkog klatna ispitujući njihanje lustera na dugačkom lancu. Otkrio je da period oscilovanja matematičkog klatna ne zavisi od amplitude. Ako se pri pokretanju klatna skrene pod različitim malim uglovima, tada će se njegove oscilacije pojaviti s istim periodom, ali različitim amplitudama. Ovo svojstvo se naziva izohronizam.

Jednačina kretanja matematičkog klatna

Matematičko klatno je klasičan primjer harmonijskog oscilatora. Izvodi harmonijske oscilacije koje su opisane diferencijalnom jednadžbom:

\[\ddot(\varphi )+(\omega )^2_0\varphi =0\ \lijevo(1\desno),\]

gdje je $\varphi $ ugao odstupanja niti (ovjesa) od ravnotežnog položaja.

Rješenje jednadžbe (1) je funkcija $\varphi (t):$

\[\varphi (t)=(\varphi )_0(\cos \left((\omega )_0t+\alpha \right)\left(2\right),\ )\]

gdje je $\alpha $ početna faza oscilacija; $(\varphi )_0$ - amplituda oscilacija; $(\omega )_0$ - ciklična frekvencija.

Oscilacije harmonijskog oscilatora su važan primjer periodičnog kretanja. Oscilator služi kao model u mnogim problemima klasične i kvantne mehanike.

Ciklična frekvencija i period oscilovanja matematičkog klatna

Ciklična frekvencija matematičkog klatna ovisi samo o dužini njegovog ovjesa:

\[\ (\omega )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\lijevo(3\desno).\]

Period oscilacije matematičkog klatna ($T$) u ovom slučaju je jednak:

Izraz (4) pokazuje da period matematičkog klatna zavisi samo od dužine njegovog ovjesa (udaljenost od tačke ovjesa do težišta tereta) i od ubrzanja gravitacije.

Energetska jednadžba za matematičko klatno

Kada se razmatraju oscilacije mehaničkih sistema sa jednim stepenom slobode, oni često za polaznu tačku uzimaju ne Newtonove jednačine kretanja, već energetsku jednačinu. Pošto je lakše sastaviti, a radi se o jednadžbi prvog reda u vremenu. Pretpostavimo da u sistemu nema trenja. Zapisujemo zakon održanja energije za matematičko klatno koje vrši slobodne oscilacije (male oscilacije) kao:

gdje je $E_k$ kinetička energija klatna; $E_p$ je potencijalna energija klatna; $v$ je brzina klatna; $x$ je linearni pomak težine klatna iz ravnotežnog položaja duž kružnog luka poluprečnika $l$, dok je ugao - pomak povezan sa $x$ kao:

\[\varphi =\frac(x)(l)\lijevo(6\desno).\]

Maksimalna vrijednost potencijalne energije matematičkog klatna je:

Maksimalna vrijednost kinetičke energije:

gdje je $h_m$ maksimalna visina klatna; $x_m$ je maksimalno odstupanje klatna od ravnotežnog položaja; $v_m=(\omega )_0x_m$ - maksimalna brzina.

Primjeri problema sa rješenjima

Primjer 1

Vježbajte. Kolika je maksimalna visina podizanja lopte matematičkog klatna ako je njegova brzina kretanja pri prolasku ravnotežnog položaja bila $v$?

Rješenje. Hajde da napravimo crtež.

Neka je potencijalna energija lopte nula u njenoj ravnotežnoj poziciji (tačka 0). U tački maksimalnog uspona lopte iznad ravnotežnog položaja (tačka A), brzina lopte je nula, potencijalna energija je maksimalna. Zapišimo zakon održanja energije za razmatrana dva položaja lopte:

\[\frac(mv^2)(2)=mgh\ \lijevo(1.1\desno).\]

Iz jednačine (1.1) nalazimo traženu visinu:

Odgovori.$h=\frac(v^2)(2g)$

Primjer 2

Vježbajte. Koliko je ubrzanje gravitacije ako matematičko klatno dužine $l=1\ m$ oscilira s periodom jednakim $T=2\ s$? Smatraj da su oscilacije matematičkog klatna male.\textit()

Rješenje. Kao osnovu za rješavanje problema uzimamo formulu za izračunavanje perioda malih oscilacija:

Izrazimo ubrzanje iz njega:

Izračunajmo ubrzanje zbog gravitacije:

Odgovori.$g=9,87\ \frac(m)(s^2)$

Osnovni koncepti: prigušene oscilacije, slobodne oscilacije, neprigušene oscilacije, prisilne oscilacije, samooscilacije.

Ukupna mehanička energija klatna E je zbir njegovih potencijalnih E p = mgh i kinetičke E k = mυ 2 /2 energija:

E = E p + E k = mgh + mυ 2 /2. (1)

Slika 1 shematski prikazuje transformaciju potencijalne energije matematičkog klatna u kinetičku energiju i obrnuto.

Fig.1. Transformacija energije pri oscilatornom kretanju matematičkog klatna.

Kada se klatno nalazi u tački A (tačka u kojoj je pomak klatna iz ravnotežnog položaja maksimalan), tada je njegova kinetička energija jednaka minimalnoj moguće značenje- nula - E k min = 0, a potencijalna energija je maksimalna i jednaka E p max = mgh max. Dakle, ukupna mehanička energija klatna u t.A u skladu sa (1) jednaka je:

U tački A: E = E p max + E k min = mgh max + 0 = mgh max.

Kada je klatno u bilo kojoj međutački između tačaka A (tačka u kojoj je pomak klatna iz ravnotežnog položaja maksimalan) i O (ravnotežni položaj), tada je njegova ukupna mehanička energija E u skladu sa (1) jednaka :

U međutačkama: E = E p + E k = mgh + mυ 2 /2,

E p i E k poprimaju neke međuvrijednosti veće od 0 i manje od maksimalne vrijednosti: E p = mgh< mgh max , Е к = mυ 2 /2 < mυ max 2 /2.

Kada klatno prođe tačku O (ravnotežni položaj), tada je njegova kinetička energija maksimalna i jednaka E k max = mυ max 2 /2, a potencijalna energija, zauzvrat, sada poprima nultu vrijednost E p = 0:

U tački O: E = E p min + E k max = 0 + mυ max 2 /2.

Dakle, moguće je stvoriti lanac transformacija jedne vrste energije u drugu kada se matematičko klatno kreće od jedne tačke do druge (slika 1):

tačka A -- tačka N -- tačka O -- tačka M -- tačka B --.....

E p max -- E p + E k -- E k max -- E' p + E' k -- E p max -- .....

E = E p + E k = mgh + mυ 2 /2 = E k max = mυ max 2 /2 = E p max = mgh max (2)

Za opružno klatno (slika 2), konverzija energije se odvija na sličan način.

Rice. 3. Samooscilirajući sistem.

Idite na sljedeću lekciju 34: Širenje oscilacija u mediju. Talasi.

Idi na bilješke za 9. razred.

Matematičko klatno naziva se malo tijelo okačeno na tanku nerastegljivu nit, čija je masa zanemarljiva u odnosu na masu tijela. U ravnotežnom položaju, kada klatno visi na visini, sila gravitacije je uravnotežena silom zatezanja niti. F τ = - mg sin φ (slika 2.3.1). Znak minus u ovoj formuli znači da je tangencijalna komponenta usmjerena u smjeru suprotnom od otklona klatna.

Ako označimo sa x linearni pomak klatna iz ravnotežnog položaja duž luka kružnice polumjera l, tada će njegov kutni pomak biti jednak φ = x / l. Drugi Newtonov zakon, napisan za projekcije vektora ubrzanja i sile na smjer tangente, daje:

Ovaj odnos pokazuje da je matematičko klatno kompleks nelinearni sistema, jer sila koja teži da vrati klatno u ravnotežni položaj nije proporcionalna pomaku x, A

Samo u slučajumale fluktuacije , kada otprilikemože se zamijeniti samatematičko klatno je harmonijski oscilator, tj. sistem sposoban da izvodi harmonijske oscilacije. U praksi, ova aproksimacija vrijedi za uglove reda veličine 15-20°; u ovom slučaju, vrijednost se razlikuje od najviše 2%. Oscilacije klatna pri velikim amplitudama nisu harmonijske.

Za male oscilacije matematičkog klatna, Newtonov drugi zakon se zapisuje kao

Dakle, tangencijalno ubrzanje aτ klatna je proporcionalno njegovom pomaku x, uzeti sa suprotnim predznakom. To je upravo uslov pod kojim je sistem harmonijski oscilator. By opšte pravilo za sve sisteme koji mogu izvoditi slobodne harmonijske oscilacije, modul koeficijenta proporcionalnosti između ubrzanja i pomaka iz ravnotežnog položaja jednak je kvadratu kružne frekvencije:

Ova formula izražava prirodna frekvencija malih oscilacija matematičkog klatna .

dakle,

Svako tijelo postavljeno na horizontalnu os rotacije sposobno je za slobodne oscilacije u gravitacionom polju i stoga je također klatno. Takvo klatno se obično naziva fizički (Slika 2.3.2). Od matematičkog se razlikuje samo po raspodjeli masa. U stabilnom ravnotežnom položaju, centar mase C fizičko klatno se nalazi ispod ose rotacije O na vertikali koja prolazi kroz osu. Kada se klatno skrene za ugao φ, javlja se moment gravitacije koji teži da vrati klatno u ravnotežni položaj:

Evo d- udaljenost između ose rotacije i centra mase C.

Znak minus u ovoj formuli, kao i obično, znači da moment sile teži da zarotira klatno u smjeru suprotnom od njegovog odstupanja od ravnotežnog položaja. Kao u slučaju matematičkog klatna, povratni trenutak M proporcionalan To znači da je samo pod malim uglovima, kada, fizičko klatno sposobno da izvodi slobodne harmonijske oscilacije. U slučaju malih fluktuacija

a drugi Newtonov zakon za fizičko klatno poprima oblik

gdje je ε ugaono ubrzanje klatna, I- moment inercije klatna u odnosu na osu rotacije O. Modul koeficijenta proporcionalnosti između ubrzanja i pomaka jednak je kvadratu kružne frekvencije:

Ovdje ω 0 - prirodna frekvencija malih oscilacija fizičkog klatna .

dakle,

Rigoroznije izvođenje formula za ω 0 i T može se učiniti ako uzmemo u obzir matematički odnos između kutnog ubrzanja i kutnog pomaka: kutno ubrzanje ε je drugi izvod kutnog pomaka φ u odnosu na vrijeme:

Stoga se jednadžba koja izražava drugi Newtonov zakon za fizičko klatno može napisati u obliku

Ovo je jednadžba slobodnih harmonijskih vibracija.

Koeficijent u ovoj jednačini ima značenje kvadrata kružne frekvencije slobodnih harmonijskih oscilacija fizičkog klatna.

Prema teoremi o paralelnom prevođenju ose rotacije (Steinerova teorema), moment inercije I može se izraziti kroz moment inercije IC u odnosu na osu koja prolazi kroz centar mase C klatno i paralelna os rotacije:

Konačno, za kružnu frekvenciju ω 0 slobodnih oscilacija fizičkog klatna dobija se sljedeći izraz:

WITHscreenshotpotragao definicijitoplanete