Primjena Moebiusove trake u fizici. Mobiusova traka je beskrajna misterija našeg vremena

Möbius traka – prsten sa jednom površinom

je oličenje mnogih važnih duhovnih ideja poznatih u sakralnoj geometriji. Da biste napravili Möbius traku, uzmite komad papira i iz njega izrežite traku (24 cm duga i 4 cm široka, radi praktičnosti).

Sada okrenite jedan kraj trake i spojite krajeve.

Dobili ste Möbius traku. Möbius traka ima samo jednu stranu (jednu površinu).

Da biste to testirali, uzmite olovku i povucite liniju duž papirne trake dok se kraj ne spoji s početkom. Kao rezultat toga, povući ćete liniju preko cijele površine prstena.

Ne postoji razlika između vanjske i unutrašnje strane Möbiusove trake. Ovo je simbol Stvoritelja, koji je sve stvorio od sebe.

Čovjek realnost doživljava dvojako - kao dobro i zlo.

Dvostruka percepcija stvarnosti ne prepoznaje ni jednu silu iza svega što postoji.

Preseći Möbius traku na dva dela!

Uzmite makaze i prerežite Mobius traku po dužini - umjesto dva prstena, dobićete jedan veći prsten! Ovo je simbol dualnosti: dvojna percepcija Jednog je iluzija.
Prerežite Mobius traku na tri!
Čak se i hebrejska riječ “Jehova” (ili “Jahve”) sastoji od riječi “haya” (bio), “hoveh” (je) i “yihye” (biće), što nam daje ciklus vremena. ..

Kada shvatimo ko smo zapravo, otkriće nam se kosmički vic!

Cijena: 536 dolara	Cijena: 110 dolara
Cijena: 573 dolara

Postoje dvije vrste Möbius traka ovisno o smjeru uvijanja: desna i lijeva (topološki se, međutim, ne razlikuju) [[K:Wikipedia:Članci bez izvora (zemlja: Lua greška: callParserFunction: funkcija "#property" nije pronađena. )]][[K:Wikipedia:Članci bez izvora (država: Lua greška: callParserFunction: funkcija "#property" nije pronađena. )]] .

Möbius strip sviranje važnu ulogu V fantasy roman R. Zelazny “Vrata u pijesku”.

Möbiusova traka i znak beskonačnosti

Mnogi vjeruju da je Möbiusova traka rodonačelnik simbola beskonačnosti. Međutim, prema dostupnim istorijskim podacima, simbol Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \infty počeo se koristiti za simboliziranje beskonačnosti dva stoljeća prije otkrića Möbiusove trake (vidi simbol beskonačnosti).

Varijacije i generalizacije

• Usko povezana jednostrana površina je Klein boca. Klein boca se može napraviti lijepljenjem dvije Möbius trake na ivicama. U običnom trodimenzionalnom euklidskom prostoru, nemoguće je to učiniti bez stvaranja samopresjeka.
• Drugi sličan skup je projektivna ravan. Ako probušite rupu u projektivnoj ravni, ono što ostaje je Möbiusova traka. S druge strane, ako zalijepite disk na Möbiusovu traku, poklapajući njihove granice, rezultat će biti projektivna ravan.

Vidi također

• "Möbius Strip" (kratka priča)
• "Möbius Strip" (film)

Napišite recenziju o članku "Möbius traka"

Bilješke

Književnost

• Fomenko A. T., Fuks D. B. Kurs homotopijske topologije - M.: Nauka, 1989.
• Gardner M. Matematička čuda i tajne - M.: Nauka, 1978.

Linkovi

Odlomak koji karakterizira Möbiusovu traku

- Prekinut si grudni koš„Gospodine, mogu vam pomoći... ako se, naravno, ne plašite da prihvatite moju „veštičju“ pomoć... – rekoh, smešeći se što je moguće ljubaznije.
U polumraku svjetiljke koja se dimila, pažljivo mi je zavirio u lice dok mu pogled konačno nije zasjao razumijevanjem.
– Znam ko si... Sećam te se! Vi ste čuvena venecijanska veštica, sa kojom Njegova Svetost ne želi da se rastane ni sa čim - tiho je rekao Đovani - O vama se pričaju legende, Madona! Mnogi oko Pape žele da si mrtav, ali on neće nikoga da sluša. Zašto si mu toliko potrebna, Isidora?
Bilo je jasno da mu je razgovor bio veoma težak. Sa svakim dahom, kardinal je šištao i kašljao, nesposoban da pravilno diše.
– Tebi je veoma teško. Dozvolite mi da vam pomognem! – Tvrdoglavo se nisam predavao, znajući da mu posle toga više niko neće pomoći.
- Nema veze... Mislim da bi bilo bolje da brzo odete odavde, Madona, pre nego što stignu moji novi tamničari, ili još bolje, sam Papa. Mislim da ne bi baš voleo da te nađe ovde... - tiho je šapnuo kardinal i dodao: - A ti si, zaista, izuzetno lepa, Madona... Takođe... čak i za Papu.
Ne slušajući ga više, stavila sam mu ruku na grudi i, osjetivši životvornu toplinu koja se slijeva u slomljenu kost, okrenula sam se od svog okruženja, potpuno se koncentrirajući samo na čovjeka koji je sjedio ispred mene. Nakon nekoliko minuta, oprezno je, ali duboko udahnuo, i, ne osjećajući bol, iznenađeno se nasmiješio.
„Da se nisi nazvala vešticom, odmah bi bila krštena za sveticu, Isidora!“ Ovo je divno! Istina, šteta što je vaš trud bio uzaludan... Uskoro će doći po mene, a mislim da će mi nakon toga trebati ozbiljniji tretman... Vi ste upoznati sa njegovim metodama, zar ne?
– Zar ćete zaista biti mučeni kao i svi ostali, monseigneur?.. Vi služite njegovoj voljenoj crkvi!.. A vaša porodica – siguran sam da je veoma uticajna! Hoće li ti ona moći pomoći?
„Oh, mislim da me neće tako lako ubiti...“ gorko se osmehnuo kardinal. – Ali i pre smrti, u podrumima Karafe, teraju te da se moliš za nju... Zar nije tako? Odlazi, Madona! Pokušaću da preživim. I pamtiću te sa zahvalnošću...
Tužno sam pogledao oko kamene „ćelije“, odjednom se s jezom setio mrtvog Đirolama koji je visio na zidu... Dokle će trajati sav ovaj užas?!.. Zar zaista neću naći način da uništim Caraffu i nevine živote hoće li i dalje završiti jedan za drugim, nekažnjeno uništeni od njega?..
U hodniku su se čuli nečiji koraci. Trenutak kasnije vrata su se otvorila uz škripu - Caraffa je stajao na pragu...
Oči su mu zaiskrile od munje. Očigledno je jedan od vrijednih slugu odmah javio da sam otišao u podrume i da će sada "Svetost" očito umjesto mene, da istjera svoj bijes na nesretnom kardinalu, koji je bespomoćno sjedio pored mene...
– Čestitam, Madona! Očigledno vam se svidjelo ovo mjesto, čak i ako se vratite sami! - Pa, dozvolite mi da vam pružim zadovoljstvo - sada ćemo vam pokazati slatku predstavu! – i zadovoljno se osmehujući, seo je u svoju uobičajenu veliku stolicu, nameravajući da uživa u predstojećem „spektaklu”...
Od mržnje mi se zavrtjelo u glavi... Zašto?!.. Pa, zašto je ovo čudovište mislilo da posjeduje bilo kakvu ljudski život, sa svim pravom da ga oduzme kad god hoće?..
„Vaša svetosti, da li je zaista moguće da među vernim slugama vaše voljene crkve ima jeretika?..“, upitao sam, jedva suzdržavajući ogorčenje, podrugljivo.
- Oh, unutra u ovom slučaju Ovo je samo ozbiljna neposlušnost, Isidora. Ovde nema mirisa jeresi. Jednostavno ne volim kada se moja naređenja ne poštuju. A svaka neposlušnost je potrebna mala lekcija za budućnost, zar ne, dragi moj Morone?.. Mislim da se slažeš sa mnom u ovome?
Morone!!! Pa, naravno! Zato mi je ovaj čovek delovao poznato! Video sam ga samo jednom na Papinom ličnom prijemu. Ali kardinal me tada oduševio svojom zaista prirodnom veličinom i slobodom svog oštrog uma. I sjećam se da je Caraffa tada djelovao vrlo dobronamjerno prema njemu i zadovoljan njime. Kako je kardinal uspio toliko pogriješiti sada kada se osvetoljubivi Papa usudio strpati u ovu strašnu kamenu vreću?..
- Pa, prijatelju, da li želiš da priznaš grešku i vratiš se caru da je ispravi ili ćeš ovde trunuti dok ne sačekaš moju smrt... koja se, kao što znam, neće desiti uskoro... .
Smrznuo sam se... Šta je to značilo?! Šta se promijenilo?! Caraffa će dugo živjeti??? I to je izjavio vrlo samouvjereno! Šta mu se moglo dogoditi tokom njegovog odsustva?..
– Ne pokušavaj, Karafa... Ovo više nije zanimljivo. Nemate pravo da me mučite i držite u ovom podrumu. I ti to jako dobro znaš”, odgovorio je Morone vrlo mirno.
Još uvijek je imao ono nepogrešivo dostojanstvo koje me je nekada tako iskreno oduševljavalo. A onda mi se naš prvi i jedini susret vrlo živo vratio u sjećanje...
To se dogodilo kasno uveče na jednom od Caraffinih čudnih "noćnih" prijema. Gotovo da nije bilo ljudi koji su čekali, kada je iznenada sluga tanak poput motke objavio da je na prijem došao Njegova eminencija kardinal Morone, koji je, osim toga, bio „u žurbi“. Caraffa je bio očigledno oduševljen. U međuvremenu je u dvoranu ušao čovjek veličanstvenim korakom... Ako je neko zaslužio titulu najvišeg arhijereja crkve, onda je to on! Visok, vitak i pristao, veličanstven u svojoj sjajnoj moar haljini, hodao je laganim, proljetnim hodom najbogatijim ćilimima, kao na jesenje lišće, ponosno noseći svoje prelepa glava kao da svet pripada samo njemu. Čistokrvan od korijena kose do samih vrhova svojih aristokratskih prstiju, izazivao je nehotično poštovanje prema sebi, čak i ne poznavajući ga.
– Jesi li spreman, Morone? – veselo je uzviknuo Caraffa. – Nadam se da ćete Nas zadovoljiti svojim trudom! pa, bon voyage Vama, kardinale, pozdravite Cara od Nas! – i ustao, očigledno planirajući da ode.
Nisam mogao podnijeti Caraffin način da o sebi govori kao o „mi“, ali to je bila privilegija papa i kraljeva, i, naravno, niko to nikada nije pokušao osporiti. Jako me uznemirilo tako pretjerano naglašavanje nečije važnosti i isključivosti. Ali oni koji su imali takvu privilegiju bili su, naravno, ovim potpuno zadovoljni, bez izazivanja negativnih osjećaja kod njih. Ne obazirući se na Karafine reči, kardinal je lako kleknuo, ljubeći „prsten grešnika“ i, već ustajući, veoma pažljivo me pogleda svojim blistavim plavim očima. Oni su odražavali neočekivano oduševljenje i očigledna pažnja... što se Karafi, naravno, nimalo nije dopalo.
“Došao si da me vidiš, a ne da slomiš srca.” lijepe dame! – tata je nezadovoljno graknuo. – Ugodan put, Morone!
"Moram razgovarati s vama prije nego što počnem djelovati, vaša svetosti", rekao je Morone sa svom mogućom ljubaznošću, a da se nimalo nije postidio. “Moja greška mogla bi nas mnogo koštati.” Stoga vas molim da mi date malo svog dragocjenog vremena prije nego što vas napustim.
Iznenadila me nijansa bodljikave ironije koja je zvučala u rečima “tvoje dragoceno vreme”... Bilo je gotovo neuhvatljivo, ali ipak – jasno je bilo! I odmah sam odlučio da izbliza pogledam neobičnog kardinala, diveći se njegovoj hrabrosti. Uostalom, obično se nijedna osoba nije usuđivala da se našali, a još manje da ironizira, sa Karafom. Šta je u ovom slučaju pokazalo da ga se Morone uopšte nije plašio... Ali šta je bio razlog za tako samouvereno ponašanje - odmah sam odlučio da saznam, pošto nisam propustio ni najmanju priliku da prepoznam nekoga ko bi mi jednog dana mogao pomoći trebam barem malo pomoći u uništavanju “Svetosti”... Ali u ovom slučaju, nažalost, nisam imao sreće... Uzevši kardinala za ruku i naredivši mi da čekam u dvorani, Caraffa je odveo Moronea u svoje odaje, bez čak mi je dozvolio da se oprostim od njega. I iz nekog razloga ostao sam sa osećajem čudnog žaljenja, kao da sam propustio nešto važno, makar i veoma mala šansa dobiti tuđu podršku...
Papa mi obično nije dozvoljavao da budem u njegovoj čekaonici kada je tamo bilo ljudi. Ali ponekad je, iz ovog ili onog razloga, iznenada "zapovjedio" da ga slijedi, a da mu to odbijem, stvarajući još veće nevolje, bilo je jednostavno nerazumno s moje strane i nije bilo razloga za to ozbiljan razlog. Zato sam uvijek išao, znajući da će tata, kao i obično, sa nekim neshvatljivim zanimanjem posmatrati moju reakciju na određene pozvane. Bio sam potpuno ravnodušan zašto mu je potrebna takva “zabava”. Ali takvi „sastanci“ su mi omogućili da se malo opustim, i samo zbog toga nije vrijedilo prigovarati njegovim čudnim pozivima.
Pošto se više nikada nisam sreo sa kardinalom Moroneom, koji me je zanimao, vrlo brzo sam ga zaboravio. A sada je sjedio na podu ispred mene, sav krvav, ali i dalje jednako ponosan, i opet me natjerao da se divim njegovoj sposobnosti da održi svoje dostojanstvo, da ostane sam u svim, pa i najneugodnijim životnim okolnostima.
„U pravu si Morone, nemam ozbiljan razlog da te mučim...“ i onda se nasmešio. – Ali da li nam je on zaista potreban?.. A osim toga, ne ostavljaju sve muke vidljive tragove, zar ne?
Nisam hteo da ostanem!.. Nisam hteo da gledam kako će ova monstruozna „svetost“ uvežbavati svoje „talente“ na potpuno nevinoj osobi. Ali isto tako sam savršeno dobro znao da me Caraffa neće pustiti dok istovremeno ne uživa u mojim mukama. Stoga, sabravši se koliko su mi istrošeni živci dozvoljavali, pripremio sam se da gledam...
Moćni dželat lako je podigao kardinala, privezavši mu težak kamen za noge. Isprva nisam mogao da shvatim šta takvo mučenje znači, ali, nažalost, nastavak se nije dugo čekao... Dželat je povukao polugu, a kardinalovo telo je počelo da se diže... Začuo se krckanje - to su mu bili zglobovi i pršljenovi koji dolaze s mjesta. Kosa mi se naježila! Ali kardinal je ćutao.
- Viči, Morone! Uživaj mi! Možda ću te onda pustiti ranije. Pa, šta radiš?.. Naređujem ti. Shout!!!
Tata je bio bijesan... Mrzeo je kad se ljudi ne slome. Mrzeo je da ga se ne plaše... I zato se za „neposlušne“ mučenje nastavilo mnogo upornije i ljutitije.
Morone je postao bijel kao smrt. Po njemu mršavo lice krupne kapi znoja kotrljale su se i, otkinuvši se, kapale na tlo. Izdržljivost mu je bila neverovatna, ali sam shvatio da ne može ovako dugo - svako živo telo ima granicu... Hteo sam da mu pomognem, da pokušam nekako da ublažim bol. A onda mi je iznenada pala na pamet smiješna ideja, koju sam odmah pokušao provesti - kamen koji je visio na kardinalovim nogama postao je bestežinski!.. Caraffa, na sreću, to nije primijetio. A Morone je iznenađeno podigao oči, a onda ih žurno zatvorio da ih ne odaje. Ali uspeo sam da vidim - razumeo je. I nastavila je dalje da "dočara" kako bi mu što više ublažila bol.

Möbiusova traka, koja se naziva i petlja, površina ili list, predmet je proučavanja u matematičkoj disciplini topologije, koja proučava opšta svojstva figure koje se čuvaju tokom takvih kontinuiranih transformacija kao što su uvijanje, istezanje, kompresija, savijanje i druge koje nisu povezane s kršenjem integriteta. Nevjerojatna i jedinstvena karakteristika takve trake je da ima samo jednu stranu i rub i ni na koji način nije povezana s njenom lokacijom u prostoru.

Mobiusova traka je topološka, ​​odnosno kontinuirani objekt s najjednostavnijom jednostranom površinom s granicom u običnom euklidskom prostoru (3-dimenzionalnom), gdje je moguće iz jedne tačke takve površine doći do bilo koje druge bez ukrštanja. ivice.

Ko je otvorio i kada?

Tako složen objekt kao što je Möbiusova traka otkriven je na prilično neobičan način. Prije svega, napominjemo da su ga dva matematičara, potpuno nepovezana u svojim istraživanjima, otkrila u isto vrijeme - 1858. godine. Još jedan zanimljiva činjenica da li su oba ova naučnika u različita vremena bili su učenici istog velikog matematičara - Johanna Carla Friedricha Gausa. Dakle, do 1858. godine vjerovalo se da svaka površina mora imati dvije strane. Međutim, Johann Benedict Listing i August Ferdinand Möbius otkrili su geometrijski objekt koji je imao samo jednu stranu i opisali su njegova svojstva. Traka je dobila ime po Möbijusu, ali topologi smatraju Listinga i njegov rad "Preliminarne studije u topologiji" osnivačem "gumene geometrije".

Svojstva

Möbius traka ima sljedeća svojstva koja se ne mijenjaju kada je sabijena, rezana po dužini ili zgužvana:

1. Prisustvo jedne strane. A. Moebius je u svom djelu “O volumenu poliedra” opisao geometrijsku površinu, kasnije nazvanu u njegovu čast, sa samo jednom stranom. To je prilično jednostavno provjeriti: uzmite Mobius traku ili traku i pokušajte obojiti unutrašnjost jednom bojom, a vanjštinu drugom. Nije bitno u kom je mjestu i smjeru započeto bojenje, cijela figura će biti obojena istom bojom.

2. Kontinuitet se izražava u tome da bilo koja tačka ovoga geometrijska figura može se povezati sa bilo kojom drugom tačkom bez prelaska granica Mobiusove površine.

3. Povezanost, odnosno dvodimenzionalnost, leži u činjenici da pri rezanju trake po dužini neće ispasti nekoliko različite figure, i ostaje netaknut.

4. Ovo mu nedostaje važna imovina kao orijentacija. To znači da će se osoba koja slijedi ovu figuru vratiti na početak svog puta, ali samo u ogledalu sebe. Dakle, beskonačna Mobius traka može dovesti do vječnog putovanja.

5. Poseban hromatski broj koji pokazuje maksimalni mogući broj područja na Mobius površini koja se može kreirati tako da bilo koja od njih ima zajedničku granicu sa svim ostalima. Möbiusova traka ima kromatski broj 6, ali papirni prsten ima kromatski broj 5.

Naučna upotreba

Danas se Mobiusova traka i njena svojstva široko koriste u nauci, služeći kao osnova za konstruiranje novih hipoteza i teorija, provođenje istraživanja i eksperimenata, te stvaranje novih mehanizama i uređaja.

Dakle, postoji hipoteza prema kojoj je Univerzum ogromna Mobiusova petlja. O tome posredno svjedoči Ajnštajnova teorija relativnosti, prema kojoj čak i brod koji leti pravo može da se vrati u istu vremensku i prostornu tačku iz koje je krenuo.

Druga teorija posmatra DNK kao dio Mobiusove površine, što objašnjava poteškoće u čitanju i dešifriranju genetskog koda. Između ostalog, takva struktura daje logično objašnjenje za biološku smrt - spirala zatvorena sama u sebe dovodi do samouništenja objekta.

Prema fizičarima, mnogi optički zakoni zasnovani su na svojstvima Mobiusove trake. Tako, na primjer, zrcalnu sliku- ovo je poseban prenos u vremenu i osoba vidi svoje ogledalo duplo ispred sebe.

Implementacija u praksi

Mobius traka se već dugo koristi u raznim industrijama. Veliki pronalazač Nikola Tesla početkom veka izumeo je Mebijusov otpornik, koji se sastoji od dve provodne površine upletene u 1800, koji mogu da se odupru strujanju. električna struja bez stvaranja elektromagnetnih smetnji.

Na osnovu proučavanja površine Mobiusove trake i njenih svojstava stvoreni su brojni uređaji i instrumenti. Njegov oblik se ponavlja prilikom kreiranja trake transportne trake i ink traka u štamparskim uređajima, abrazivnim trakama za oštrenje alata i automatskim menjačem. To vam omogućava da značajno produžite njihov vijek trajanja, jer se habanje odvija ravnomjernije.

Ne tako davno, zadivljujuće karakteristike Mobius trake omogućile su stvaranje opruge koja, za razliku od konvencionalnih opruga koje se aktiviraju u suprotnom smjeru, ne mijenja smjer rada. Koristi se u stabilizatoru pogona volana, osiguravajući povratak volana u prvobitni položaj.

Osim toga, Möbius trakasti znak se koristi u raznim oblicima zaštitni znakovi i logos. Najpoznatiji od njih je međunarodni simbol reciklaže. Stavlja se na ambalažu robe koja se može reciklirati ili je napravljena od recikliranih resursa.

Izvor kreativne inspiracije

Möbiusova traka i njena svojstva činili su osnovu za rad mnogih umjetnika, pisaca, vajara i filmaša. Najpoznatiji umjetnik koji je koristio traku i njene karakteristike u djelima kao što su “Mobius Strip II (Red Ants)”, “Riders” i “Čvorovi” je Maurits Cornelis Escher.

Möbiusove trake, ili minimalne energetske površine kako ih još nazivaju, postale su izvor inspiracije matematičkim umjetnicima i vajarima kao što su Brent Collins i Max Bill. Najpoznatiji spomenik Mobius traci postavljen je na ulazu u Vašingtonski muzej istorije i tehnologije.

Ruski umjetnici također nisu ostali po strani od ove teme i stvarali su svoja djela. Skulpture Mobijusove trake postavljene su u Moskvi i Jekaterinburgu.

Literatura i topologija

Neobična svojstva Möbiusovih površina inspirisala su mnoge pisce da stvore fantastična i nadrealna djela. Mobiusova petlja igra važnu ulogu u romanu R. Zelaznyja “Vrata u pijesku” i služi kao sredstvo kretanja kroz prostor i vrijeme glavnog lika romana “Nekroskop” B. Lumleya.

Pojavljuje se i u pričama “The Wall of Darkness” Arthura C. Clarkea, “On the Mobius Strip” M. Cliftona i “The Mobius Strip” A. J. Deitcha. Na osnovu potonjeg, reditelj Gustavo Mosquera snimio je fantastičan film “Mobius”.

Radimo to sami, vlastitim rukama!

Ako vas zanima Mobius traka, kako napraviti model od nje, mala instrukcija će vam reći:

1. Za izradu njegovog modela trebat će vam:

List običnog papira;

Škare;

Vladar.

2. Izrežite traku od lista papira tako da njena širina bude 5-6 puta manja od dužine.

3. Primljeno papirna traka rasporedite na ravnu površinu. Jedan kraj držimo rukom, a drugi okrenemo za 1800 tako da se traka uvije i kriva strana postane prednja strana.

4. Zalijepite krajeve upletene trake zajedno kao što je prikazano na slici.

Mobius traka je spremna.

5. Uzmite olovku ili marker i počnite crtati putanju u sredini trake. Ako ste sve uradili kako treba, vratit ćete se na istu tačku gdje ste počeli crtati liniju.

Da biste dobili vizuelnu potvrdu da je Möbiusova traka jednostrani predmet, pokušajte da obojite jednu od njenih strana olovkom ili perom. Nakon nekog vremena vidjet ćete da ste ga u potpunosti naslikali

Eksperimentirajmo: izrežite traku od papira, zalijepite krajeve trake, ali ne kao obično, već s rotacijom od 180 stupnjeva. Imamo Möbius traku.

Njemački astronom i matematičar August Ferdinand Möbius jednom je uzeo komad papirne trake, okrenuo jedan kraj za pola okreta (to jest, 180 stepeni), a zatim ga zalijepio na drugi kraj. Da li je to učinio iz dosade ili zbog naučnog interesa, sada se ne zna. Ali pouzdano se zna da se upravo tako pojavila poznata Möbiusova traka u prošlom vijeku.

Svojstva Möbiusove trake

Po čemu je poznata? I činjenica da površina Möbiusove trake ima samo jednu stranu. Ovo je lako provjeriti. Uzmite olovku i počnite bojati traku u nekom smjeru. Uskoro ćete se vratiti tamo gdje ste počeli. Sada pažljivo pogledajte: ispostavilo se da je cijela traka prefarbana! Ali niste ga okrenuli da slikate na drugoj strani. I nisu mogli da ga preokrenu, čak i da su to zaista želeli. Zato što je površina Möbiusove trake jednostrano. Ona ima ovu čudnu imovinu.

Ponovo radimo sa makazama: probušite ovu traku i pažljivo je prerežite po dužini - tačno po sredini. “Pa,” mogli biste pomisliti, “sada dobijate dva odvojena prstena...”

Ali šta je to? Umesto dva prstena, dobijate jedan! Štoviše, veći je i tanji od originalnog i dvaput je uvijen. „Ovo se ne dešava“, kažete. Dešava se.

Šta mislite da će se desiti sa ovom figurom ako se ponovo iseče? Možda će opet izaći jedna cela, ali iskrivljena traka papira? br. Ovaj put ćete dobiti dva povezana prstena.

Ovo su zanimljive metamorfoze koje krije Mobiusova traka. Te fenomene možete pokazati svojim prijateljima, predstavljajući ih kao magične trikove, a zapravo im jednostavno pokazujete matematičke zakone.

Jednostavna traka papira, uvijena samo jednom, a zatim zalijepljena u prsten, odmah se pretvara u misteriozna traka Möbius i stječe neverovatna svojstva. Ovakva svojstva površina i prostora proučava posebna grana matematike - topologija.
Ova nauka je toliko složena da se ne uči u školi. Samo u institutima (a ni tada ne u svim!). Ali ko zna, možda ćete na kraju postati poznati topolog i napraviti više od jednog izvanrednog otkrića. A možda će neka zamršena površina dobiti ime po vama!

Möbiusova traka u arhitekturi

I gde unutra pravi život možete li vidjeti mobius traku? Mnogi arhitekti pokušavaju koristiti misterijsku traku u svojim projektima. Tako je belgijski arhitekta Vincent Callebaut razvio novu zgradu za park na Tajvanu koja liči na Mobiusovu traku.

Struktura je u obliku lastavičjeg gnijezda i počinje trokutom, a zatim se uvija u elipsu. Unutar zgrade možete se diviti biljkama, umjetničkim djelima ili jednostavno prošetati.

Video prikazuje misterije Mobiusove trake

Ivanova Elena

Šta je Möbius traka?

Möbiusova traka se ponekad naziva prapočetkom simbola beskonačnosti, jer. Da ste na površini Möbiusove trake, mogli biste vječno hodati po njoj. Ovo nije tačno, jer se simbol koristio za predstavljanje beskonačnosti dva veka pre otkrića Möbiusove trake.

Preuzmi:

Pregled:

Opštinska obrazovna ustanova

Pavdinskaya prosjek srednja škola

(projekat)

Izvršila: Lena Ivanova,

Učenik 9. razreda

Šef: G.A. Surkova,

nastavnik matematike 1. kategorije

selo Pavda

2009

Problematično pitanje:

1. Jeste li pronašli Mobius traku? praktična primjena V svakodnevni život? 2. Postoji li ekonomska korist od korištenja Mobius trake u industrijskim objektima?

Svrha studije:

Istražite upotrebu Mobius trake u svakodnevnom životu.

Zadaci:

1. Upoznajte se sa naučnom fantastikom A. J. Deitcha, Vladislava Krapivina.

2. Upoznajte se sa slikom Mobiusove trake u likovne umjetnosti, skulptura i grafika.

3. Saznajte više o spominjanju Mobiusove trake u studijama biologije, fizike i genetike.

4. Upoznajte se sa upotrebom Mobius traka u industriji (saznajte o efikasnosti korišćenja ovakvih uređaja).

Napredak rada:

Faze rada	Akcije
Prvo	Formulisanje fundamentalnih pitanja.
Drugo	Diskusija o planu projekta. Formulacija problema, hipoteza, ciljevi istraživanja. Izrada plana, odabir metode istraživanja i forme za prezentaciju rezultata
Treće	Prikupljanje građe, njena analiza. Sprovođenje istraživanja. Dovršavanje zadataka. Prezentacija rezultata istraživanja u obliku prezentacije. Sumiranje rada na projektu. Refleksija o radu na projektu provodi se kroz razmišljanje o tome šta je bilo uspješno, a šta nije.

1.Uvod

2.Mobius traka. Koncept. Svojstva.

3. Primjena Mobiusove trake.

4. Möbius strip trikovi.

5. Zaključci

6.Reference

1.Uvod.

Čitajući matematičku literaturu, naišao sam na koncept „Möbiusove trake“. Zanimala me ova zanimljiva fraza. I pokušao sam da saznam šta je Mobius traka i koja je njena primena.

Šta je Möbius traka?

2. Mobius traka. Koncept. Svojstva.

Möbiusova traka je topološki objekat, najjednostavnija jednostrana površina sa ivicom. Möbiusovu traku su neovisno otkrili njemački matematičari August Ferdinand Möbius i Johann Benedict Listing 1858. godine. Model Möbius trake može se lako napraviti. Da biste to učinili, trebate uzeti papirnu traku i spojiti krajeve trake, prvo okrenuvši jednu od njih. U Euklidskom prostoru postoje dvije vrste Möbiusovih traka ovisno o smjeru uvijanja: desnoruke i lijevoruke.

Möbiusova traka se ponekad naziva i rodonačelnikom simbola beskonačnosti, jer. Da ste na površini Möbiusove trake, mogli biste zauvijek hodati po njoj. Ovo nije tačno, jer se simbol koristio za predstavljanje beskonačnosti dva veka pre otkrića Möbiusove trake.

Svojstva Mobiusove trake:

1. Ako se krećete duž Mobiusove trake (kao i duž bilo koje druge jednostrane površine), ne prelazeći njene granice, tada (za razliku od dvostranih površina) možete doći do prvobitnog mjesta, nalazeći se u obrnutom položaju u odnosu na na originalni. Ovo je usko povezano sa neorijentacijom Möbiusove trake.

2. Ako na listu papira označite mali krug s fiksnim smjerom pomicanja i pomjerite ga duž Mobiusove trake bez prelaska granice, tada možete doći do početnog smjera tako da se smjer pomicanja kruga promijeni u suprotno.

3. List je ograničen na samo jednu zatvorenu liniju. Stoga, ako isečete Mobius traku duž srednja linija, tada se neće rascijepiti na dva dijela, već će se pretvoriti u homeofornu lindru površinu, koja se od nje razlikuje samo po tome što je dva puta uvijena oko sebe.

Ako isečete Möbiusovu traku, povlačeći se od ruba za otprilike trećinu njene širine, dobićete dvije trake, još jednu tanka traka Möbiusova traka, druga je duga traka sa dva poluokreta (nije Möbiusova traka). Druge zanimljive kombinacije traka mogu se izvesti iz Möbius traka sa dva ili više poluokreta u njima. Na primjer, ako presečete vrpcu sa tri poluokreta, dobit ćete traku uvijenu u trolistni čvor. Rezanje Möbiusove trake s dodatnim zavojima proizvodi neočekivane figure zvane paradromski prstenovi.

3.Primjena.

Fantasticno.

Čudesna svojstva trake odmah su dovela do mnogih naučnih radova, izuma (vrlo korisnih i potpuno nerealnih), kao i brojnih naučnofantastičnih priča. Jedan od njih, sjećam se, opisao je incident u njujorškoj podzemnoj željeznici kada se voz izgubio u vremenu i krenuo stazom zatvorenom u Mobius traci. Ispostavilo se da autor nije tako daleko od istine. Teoretski fizičari su došli do zaključka da je naš Univerzum vrlo vjerovatno zatvoren u istu vrpcu prema teoriji relativnosti - što je veća masa, veća je zakrivljenost prostora. Protivnici ove teorije tvrde da nema dovoljno mase za takvu zakrivljenost Univerzuma, ali, prvo, raspodjela gustine materije još nije u potpunosti proučena, a drugo, prisustvo tzv. ” se ne uzima u obzir, pa čak i neutrini, kako smo nedavno potpuno otkrili, imaju pozitivnu masu mirovanja, a ne neutralni.

U priči Arthur C. Clarke"Zid tame" . Ponekad naučnofantastične priče (koje prate teorijske fizičare) sugerišu da našeUniverzummože biti neka generalizirana Möbiusova traka. Takođe, Möbiusov prsten se stalno spominje u djelima uralskog pisca Vladislava Krapivina, ciklusa „U dubinama Velikog Kristala».

Art.

Möbiusova traka poslužila je kao inspiracija za skulpture i grafičku umjetnost. Escher je bio jedan od umjetnika koji ga je posebno volio i posvetio je nekoliko svojih litografija ovom matematičkom objektu. Jedna od poznatih, Möbiusova traka, prikazuje mrave kako puze po površini Möbiusove trake.

Tehnika.

Bilo je tehničkih aplikacija za Möbius traku. Traka transportne trake je napravljena u obliku Möbius trake, što joj je omogućilo duži rad jer se cijela površina trake ravnomjerno istrošila. Sistemi za kontinuirano snimanje filma takođe su koristili Möbius trake (da bi se udvostručilo vreme snimanja).

Genetika.

Postoji hipoteza da je sama spirala DNK također fragment Mobiusove trake i da je to jedini razlog zašto je genetski kod tako teško dešifrirati i percipirati. Štoviše, takva struktura sasvim logično objašnjava razlog početka biološke smrti - spirala se zatvara sama od sebe i dolazi do samouništenja.

fizika.

Fizičari takođe tvrde da su svi optički zakoni zasnovani na svojstvima Mobiusove trake, a posebno je refleksija u ogledalu svojevrsni prenos u vremenu, kratkotrajan, u trajanju od stotih delova sekunde, jer vidimo ispred sebe. .. tako je, naše ogledalo duplo!

Invencije.

Patentne službe bile su prisiljene da se upoznaju sa nevjerovatnim svojstvima Mobiusove trake - u različito vrijeme iu različitim zemljama Registrovani su mnogi izumi koji se zasnivaju na istoj jednostranoj površini.

Godine 1923., poznati američki izumitelj Lee de Forest, koji je izumio lampu s tri elektrode - triodu, predložio je snimanje zvuka na film bez mijenjanja kolutova, "na obje strane" odjednom. Izdat mu je patent br. 1442632.

Izmislili su kasetofon - i odmah su se pojavili pametni ljudi koji su smislili posebne kasete, gdje se magnetna traka spaja u prsten i uvija. Jasno je da tada možete snimati i čitati unazad sa dvije pjesme bez vađenja kasete iz kasetofona ili promjene mjesta, što znači da se neprekidno vrijeme zvuka tačno udvostručuje. ( Radi se o, naravno, o takozvanoj „kontinuiranoj traci“, odnosno zatvorenoj u prsten, poput automatskog telefonskog sata ili policijskih slogana o bezbednosti saobraćaja koji se prenose preko zvučnika patrolnih automobila.).

Godine 1969. sovjetski pronalazač A. Gubajdulin dobio je sertifikat o autorskim pravima br. 236278 za beskrajnu brusnu traku koja radi na obe strane. Predložio je da se Mobius traka napravljena od specijalnog materijala razvuče na dva rotirajuća valjka i pokrije je zrncima tvrdog abraziva. Jasno je da takva traka služi dvostruko duže od obične.

Istu ideju koristili su i zaposleni u Istraživačkom institutu za automatizaciju crne metalurgije G. Buiny i V. Izotov u svom uređaju za magnetnu detekciju grešaka (izdato im je autorsko uvjerenje br. 259449).

Godine 1963., Američki zavod za patente registrovao je dva "praktično geometrijska" izuma. Izvjesni Jacobs stavio je svoje znanje o topologiju u službu kemijskog čišćenja - smislio je samočisteći filter, koji je ista Mobiusova traka i kontinuirano se oslobađa od upijene prljavštine, "radeći" s obje strane. A Richard Davis, fizičar iz američke Sandia Corporation u Albuquerqueu, izumio je električni otpor s nultom reaktivnošću.

Godine 1969. sovjetski izumitelj Gubaidullin predložio je beskonačnu brusnu traku u obliku Möbiusove trake.

Godine 1971. izumitelj sa Urala P.N. primijenjen filter u obliku Mobius trake.

A ovo je samo mali dio primjera korištenja ove nevjerojatne površine.

4. Fokusi.

1. U jednom od njih, šoumen predaje gledaocu tri velika papirna prstena, od kojih je svaki napravljen lijepljenjem krajeva dugačkog papirna traka. Gledalac makazama preseče prvi prsten duž sredine trake dok se ne vrati na početnu tačku. Rezultat su dva odvojena prstena. Presijecajući na isti način drugi prsten, na svoje iznenađenje dobija ne dva prstena, već jedan, koji je duplo duži od originalnog. Konačno, presecajući treći, ponovo dobija zadivljujući rezultat: dva prstena koja se spajaju jedan s drugim.

Rezultat ovog trika ovisi o tome kako su krajevi trake bili zatvoreni prije lijepljenja. Naš prvi prsten napravljen je jednostavnim spajanjem krajeva vrpce bez uvrtanja. Drugi prsten (nazvan Möbius traka) se dobija spajanjem krajeva trake jednom uvrnute za 180º. Jedno od najzanimljivijih svojstava ove površine, koja ima samo jednu stranu i jednu ivicu, jeste da, presijecanjem po dužini po sredini, dobijemo jednu veliki prsten, ako ga ne isječete po sredini, već na udaljenosti od 1/3 širine od ruba, onda ćete dobiti dva prstena: jedan veliki i mali koji je povezan s njim. Treći prsten je napravljen rezanjem trake čiji su krajevi dva puta uvrnuti prije lijepljenja, odnosno za 360º.

2. U drugoj verziji trika, prsten se reže na dva odvojena koluta, od kojih se jedan, kada se preseče po sredini, takođe pretvara u dva odvojena prstena, a drugi u jedan veliki.

Možete smisliti i druge kombinacije.

Sada kada ste se upoznali sa Mobius trakom, vjerovatno vas nikakva sila neće spriječiti da lijepite sve više i više traka, uvijate ih za jedan, pa dva ili čak tri pola okreta, a zatim ih nemilosrdno režete duž. I bit ćete nagrađeni za svoju radoznalost - traka papira će ponoviti sve trikove prikazane u cirkusu.

5. Zaključci:

1. Möbius traka ima jednu stranu.
2. Möbius traka ima jednu ivicu.
3. Möbiusova traka je topološki objekat. Kao i svaka topološka figura, Möbiusova grinja ne mijenja svoja svojstva sve dok se ne isječe, potrga ili njeni pojedinačni komadi ne zalijepe zajedno.
4. Jedna ivica i jedna strana Mobijusove trake nisu vezane za njen položaj u prostoru, niti za koncept udaljenosti.
5. Möbiusova traka ima brojne primjene u nauci, tehnologiji i književnosti.

6. Spisak referenci.

1. M. Gardner “Matematička čuda i misterije”, “Nauka” 1978.