Formula za ukupnu mehaničku energiju matematičkog klatna. Matematičko klatno: period, ubrzanje i formule

U tehnologiji i svijetu oko nas često imamo posla periodično(ili skoro periodično) procesi koji se ponavljaju u redovnim intervalima. Takvi procesi se nazivaju oscilatorno.

Oscilacije su jedan od najčešćih procesa u prirodi i tehnologiji. Krila insekata i ptica u letu, visoke zgrade i visokonaponske žice pod uticajem vetra, klatna sata i automobila na oprugama tokom vožnje, nivoa reke tokom godine i temperature ljudskog tela tokom bolesti, zvuk je kolebanje gustine i pritiska vazduha, radio talasi su periodični promjene jačine električnog i magnetskog polja, vidljiva svjetlost je i elektromagnetne vibracije, samo sa nešto drugačijim talasnim dužinama i frekvencijama, zemljotresi - vibracije tla, otkucaji pulsa - periodične kontrakcije ljudskog srčanog mišića itd.

Oscilacije mogu biti mehaničke, elektromagnetne, hemijske, termodinamičke i razne druge. Uprkos takvoj raznolikosti, svi oni imaju mnogo toga zajedničkog.

Oscilatorne pojave različite fizičke prirode podliježu općim zakonima. Na primjer, strujne oscilacije u električnom kolu i oscilacije matematičkog klatna mogu se opisati istim jednačinama. Zajedničkost oscilatornih obrazaca omogućava nam da razmotrimo oscilatorne procese različite prirode sa jedne tačke gledišta. Znak oscilatornog kretanja je njegov periodičnost.

Mehaničke vibracije -Ovopokreti koji se ponavljaju tačno ili približno u pravilnim intervalima.

Primjeri jednostavnih oscilatornih sistema su opterećenje na oprugu (opružno klatno) ili lopta na strunu (matematičko klatno).

Tokom mehaničkih vibracija, kinetička i potencijalna energija se periodično mijenjaju.

At maksimalno odstupanje tijelo iz njegovog ravnotežnog položaja, njegove brzine, a samim tim kinetička energija idi na nulu. U ovoj poziciji potencijalna energija oscilirajuće tijelo dostiže maksimalnu vrijednost. Za opterećenje opruge, potencijalna energija je energija elastične deformacije opruge. Za matematičko klatno, ovo je energija u Zemljinom gravitacionom polju.

Kada tijelo, u svom kretanju, prođe ravnotežni položaj, njegova brzina je maksimalna. Tijelo prelazi ravnotežni položaj prema zakonu inercije. U ovom trenutku jeste maksimalna kinetička i minimalna potencijalna energija. Povećanje kinetičke energije nastaje zbog smanjenja potencijalne energije.

Daljnjim kretanjem potencijalna energija počinje rasti zbog smanjenja kinetičke energije itd.

Dakle, tokom harmonijskih oscilacija dolazi do periodične transformacije kinetičke energije u potencijalnu i obrnuto.

Ako nema trenja u oscilatornom sistemu, onda ukupna mehanička energija tokom mehaničkih vibracija ostaje nepromijenjena.

Za opružno opterećenje:

U položaju maksimalnog otklona ukupna energija klatno je jednako potencijalnoj energiji deformisane opruge:

Prilikom prolaska kroz ravnotežni položaj, ukupna energija je jednaka kinetičkoj energiji tereta:

Za male oscilacije matematičkog klatna:

U položaju maksimalnog odstupanja, ukupna energija klatna jednaka je potencijalnoj energiji tijela podignutog na visinu h:

Prilikom prolaska kroz ravnotežni položaj ukupna energija je jednaka kinetičkoj energiji tijela:

Evo h m– maksimalna visina klatna u Zemljinom gravitacionom polju, x m i υ m = ω 0 x m– maksimalne vrijednosti odstupanja klatna od ravnotežnog položaja i njegove brzine.

Harmonične oscilacije i njihove karakteristike. Jednačina harmonijskih vibracija.

Najjednostavniji tip oscilatornog procesa je jednostavan harmonijske vibracije, koji su opisani jednacinom

x = x m cos(ω t + φ 0).

Evo x– pomeranje tela iz ravnotežnog položaja,
x m– amplituda oscilacija, odnosno maksimalni pomak iz ravnotežnog položaja,
ω – ciklička ili kružna frekvencija oklijevanje,
t- vrijeme.

Karakteristike oscilatornog kretanja.

Pomak x – odstupanje oscilirajuće tačke od njenog ravnotežnog položaja. Jedinica mjerenja je 1 metar.

Amplituda oscilacije A – maksimalno odstupanje oscilirajuće tačke od njenog ravnotežnog položaja. Jedinica mjerenja je 1 metar.

Period oscilovanjaT– naziva se minimalni vremenski interval tokom kojeg se javlja jedna potpuna oscilacija. Jedinica mjerenja je 1 sekunda.

T=t/N

gdje je t vrijeme oscilacija, N je broj oscilacija dovršenih tokom ovog vremena.

Iz grafa harmonijskih oscilacija možete odrediti period i amplitudu oscilacija:

Frekvencija oscilacije ν – fizička količina, jednak broju oscilacije u jedinici vremena.

ν=N/t

Frekvencija je recipročna od perioda oscilovanja:

Frekvencija oscilacije ν pokazuje koliko se oscilacija javlja u 1 s. Jedinica frekvencije herca(Hz).

Ciklična frekvencija ω– broj oscilacija u 2π sekundi.

Frekvencija oscilovanja ν je povezana sa ciklička frekvencija ω i period oscilovanja T omjeri:

Faza harmonijski proces - količina ispod predznaka sinusa ili kosinusa u jednadžbi harmonijskih oscilacija φ = ω t + φ 0 . At t= 0 φ = φ 0 , dakle φ 0 pozvao početna faza.

Harmonični graf predstavlja sinusni ili kosinusni val.

U sva tri slučaja za plave krive φ 0 = 0:

samo veći amplituda(x" m > x m);

crvena kriva se razlikuje od plave samo značenje period(T" = T / 2);

crvena kriva se razlikuje od plave samo značenje početna faza(drago).

Kada tijelo oscilira duž prave linije (os OX) vektor brzine je uvijek usmjeren duž ove prave linije. Brzina kretanja tijela određena je izrazom

U matematici je postupak za pronalaženje granice odnosa Δh/Δt na Δ t→ 0 se naziva izračunavanjem derivacije funkcije x(t) prema vremenu t i označava se kao x"(t).Brzina je jednaka derivaciji funkcije x( t) prema vremenu t.

Za harmonijski zakon kretanja x = x m cos(ω t+ φ 0) izračunavanje derivacije dovodi do sljedećeg rezultata:

υ X =x"(t)= ω x m grijeh (ω t + φ 0)

Ubrzanje se određuje na sličan način a x tijela tokom harmonijskih vibracija. Ubrzanje a jednak je izvodu funkcije υ( t) prema vremenu t, ili drugi izvod funkcije x(t). Proračuni daju:

i x =υ x "(t) =x""(t)= -ω 2 x m cos(ω t+ φ 0)=-ω 2 x

Znak minus u ovom izrazu znači da je ubrzanje a(t) uvijek ima suprotan predznak od predznaka pomaka x(t), te je, prema tome, prema drugom Newtonovom zakonu, sila koja uzrokuje da tijelo vrši harmonijske oscilacije uvijek je usmjerena prema ravnotežnom položaju ( x = 0).

Na slici su prikazani grafikoni koordinata, brzine i ubrzanja tijela koje vrši harmonijske oscilacije.

Grafovi koordinata x(t), brzine υ(t) i ubrzanja a(t) tijela koje vrši harmonijske oscilacije.

Opružno klatno.

Opružno klatnoje opterećenje neke mase m pričvršćeno na oprugu krutosti k, čiji je drugi kraj čvrsto pričvršćen.

Prirodna frekvencijaω 0 slobodnih oscilacija opterećenja na oprugu nalazi se po formuli:

Period T harmonijske vibracije opterećenja na oprugu su jednake

To znači da period oscilovanja opružnog klatna zavisi od mase tereta i krutosti opruge.

Fizička svojstva oscilatornog sistema odrediti samo prirodnu frekvenciju oscilacija ω 0 i period T . Parametri procesa oscilovanja kao što je amplituda x m i početna faza φ 0 određene su načinom na koji je sistem izbačen iz ravnoteže u početnom trenutku vremena.

Matematičko klatno.

Matematičko klatnonaziva se malo tijelo okačeno na tanku nerastegljivu nit, čija je masa zanemarljiva u odnosu na masu tijela.

U ravnotežnom položaju, kada klatno visi na visini, sila gravitacije je uravnotežena silom zatezanja niti N. Kada klatno odstupi od ravnotežnog položaja za određeni ugao φ, pojavljuje se tangencijalna komponenta sile gravitacije F τ = – mg sin φ. Znak minus u ovoj formuli znači da je tangencijalna komponenta usmjerena u smjeru suprotnom od otklona klatna.

Matematičko klatno.φ – ugaono odstupanje klatna od ravnotežnog položaja,

x= lφ – pomicanje klatna duž luka

Prirodna frekvencija malih oscilacija matematičkog klatna izražava se formulom:

Period oscilovanja matematičkog klatna:

To znači da period oscilovanja matematičkog klatna zavisi od dužine niti i od ubrzanja slobodan pad područje u kojem je klatno instalirano.

Slobodne i prisilne vibracije.

Mehaničke vibracije, poput oscilatornih procesa bilo koje druge fizičke prirode, mogu biti besplatno I prisiljen.

Slobodne vibracije -To su oscilacije koje nastaju u sistemu pod uticajem unutrašnjih sila, nakon što je sistem uklonjen iz stabilnog ravnotežnog položaja.

Oscilacije utega na oprugi ili oscilacije klatna su slobodne oscilacije.

Da bi slobodne vibracije izvedeno po harmonijskom zakonu, potrebno je da sila koja teži da vrati tijelo u ravnotežni položaj bude proporcionalna pomaku tijela iz ravnotežnog položaja i usmjerena u smjeru suprotnom od pomaka.

IN realnim uslovima svaki oscilatorni sistem je pod uticajem sila trenja (otpora). Štaviše, dio mehanička energija pretvara u unutrašnja energija termičko kretanje atoma i molekula, a vibracije postaju fading.

Fading nazivaju oscilacije čija amplituda opada s vremenom.

Da se oscilacije ne bi smanjile, potrebno je sistemu obezbijediti dodatnu energiju, tj. utiču na oscilatorni sistem periodičnom silom (na primer, da zaljulja zamah).

Oscilacije koje nastaju pod uticajem spoljašnje periodično promenljive sile nazivaju seprisiljen.

Vanjska sila vrši pozitivan rad i obezbjeđuje protok energije u oscilatorni sistem. Ne dopušta da vibracije nestanu, uprkos djelovanju sila trenja.

Periodična vanjska sila može se mijenjati tokom vremena prema različitim zakonima. Posebno je interesantan slučaj kada na oscilatorni sistem sposoban vršiti vlastite oscilacije na određenoj frekvenciji ω 0 djeluje vanjska sila, koja se mijenja prema harmonijskom zakonu s frekvencijom ω.

Ako se slobodne oscilacije javljaju na frekvenciji ω 0, koja je određena parametrima sistema, tada stalne prisilne oscilacije se uvijek javljaju pri frekvencija ω vanjska sila .

Fenomen naglog povećanja amplitude prisilnih oscilacija kada se frekvencija prirodnih oscilacija poklapa sa frekvencijom vanjske pokretačke sile naziva serezonancija.

Amplitudna zavisnost x m prisilne oscilacije od frekvencije ω pogonske sile nazivaju rezonantna karakteristika ili rezonantna kriva.

Rezonantne krive na različitim nivoima prigušenja:

1 – oscilatorni sistem bez trenja; pri rezonanciji, amplituda x m prinudnih oscilacija se neograničeno povećava;

2, 3, 4 – krive realne rezonancije za oscilatorne sisteme sa različitim trenjem.

U odsustvu trenja, amplituda prisilnih oscilacija tokom rezonancije treba da se povećava bez ograničenja. U realnim uslovima, amplituda stabilnih prinudnih oscilacija određena je uslovom: rad spoljne sile tokom perioda oscilovanja mora biti jednak gubitku mehaničke energije tokom istog vremena usled trenja. Što je manje trenje, veća je amplituda prisilnih oscilacija tokom rezonancije.

Fenomen rezonancije može uzrokovati uništenje mostova, zgrada i drugih građevina ako se prirodne frekvencije njihovih oscilacija poklapaju s frekvencijom periodično. delujuća sila, koji je nastao, na primjer, zbog rotacije neuravnoteženog motora.

SVRHA: eksperimentalno ispitati zakon održanja energije translatorno-rotacionog kretanja na Maksvelovom klatnu; odrediti brzinu translacijskog kretanja klatna koristeći energetske i kinematičke odnose i uporediti ih.

OPREMA: Maxwell klatno sa zamjenjivim prstenovima; elektronska štoperica.

OSNOVE TEORIJE

Najopštija mjera kretanja materije je njena energija. U mehanici, to je mehanička energija koja odgovara mehaničkom kretanju tijela. Postoje dvije vrste mehaničke energije: kinetička i potencijalna.

Potencijalna energija. Definisana energija relativnu poziciju međusobno djelujućih tijela i ovisno samo o koordinatama naziva se potencijal. Posao A 12 , postignut konzervativnim silama pri prenošenju sistema iz jednog stanja u drugo, jednak je gubitku potencijalne energije u tim stanjima .

A 12 = W 1 - W 2, (1)

Gdje W 1 I W 2 odnosno, potencijalna energija sistema u stanjima 1 i 2.

Specifična vrsta potencijalne energije zavisi od prirode polja sila. U polju gravitacije, potencijalna energija tijela mase m ima oblik:

W = m g h , (2)

Gdje g ubrzanje slobodnog pada;

h  visina mjerena od nivoa na kojem je potencijalna energija W=0.

Kinetička energija. To je energija koju tijelo (ili sistem tijela) posjeduje zbog njihovog kretanja. Ako se tijelo kreće naprijed brzinom v i istovremeno rotira oko određene ose ugaonom brzinom  , tada je ukupna kinetička energija njegovog kretanja jednaka:

Gdje m-tjelesna težina;

Imoment inercije.

Kao što vidite, prilikom rotacionog kretanja ulogu linearne brzine igra ugaona brzina, a ulogu mase ima moment inercije. Momentum I ne zavisi samo od mase, već i od raspodele ove mase u odnosu na os rotacije. Značenje I za neka tijela pravilnog geometrijskog oblika (dugačka šipka, disk, lopta, cilindar) data su u udžbenicima iz predmeta opšte fizike.

Zakon o održanju energije. Mehanička energija zatvorenog sistema tijela između kojih djeluju konzervativne sile ostaje konstantna. U takvim sistemima, kada se tijelo kreće, kinetička energija se pretvara u potencijalnu energiju i obrnuto, a ukupna energija ostaje konstantna. (Konzervativne sile uključuju gravitacione, elastične, Kulonove itd. Nekonzervativne sile su sile trenja, otpora, neelastičnih deformacija.).

Mehanička energija se takođe čuva u otvorenim sistemima ako vanjske sile ne vrše rad, jer je mjera energije izvršeni rad.

EKSPERIMENTALNI POSTUPAK

Zakon održanja energije za translacijsko-rotaciono kretanje tijela testiran je korištenjem Maxwellovog klatna. Maksvelovo klatno je disk postavljen na osovinu. Os je, zauzvrat, obješena na dva navoja, pričvršćena na gornjim krajevima na nosače.

Ove niti se mogu namotati oko ose, a kada se odvrnu, klatno vrši translaciono-rotaciono kretanje, tj. diže se i spušta, rotirajući.

Tokom eksperimenta identifikovana su dva glavna stanja. U stanju 1 klatna sa masom m je na vrhu h. Mehanička energija sistema u ovom stanju jednaka je samo potencijalnoj energiji:

E 1 = W 1 = m g h. (4)

Pustimo klatno. Pod dejstvom rezultujućih sila gravitacije i zatezanja niti počinje da pada (translaciono kretanje), a sile zatezanja niti će ga dovesti u rotaciono kretanje.

Rice. 1. Opšti pogled Maksvelovo klatno.

T- sila zatezanja konca; F g - gravitacija.

U stanju 2, klatno se spustilo sa visine h, kreće se naprijed brzinom v, dok rotira oko ose koja prolazi kroz centar mase ugaonom brzinom  Dakle, mehanička energija sistema u stanju 2 sastoji se od kinetičke energije translacionog i rotacionog kretanja:

. (5)

U odabranom sistemu (klatno u polju gravitacije) mora biti zadovoljen zakon održanja energije. Gravitacija je konzervativna sila. Napetost konca je vanjska sila. ali ne radi, jer njegova tačka primene ostaje na mestu tokom male rotacije klatna. dakle:

. (6)

Brzina translacionog kretanja klatna povezana je sa ugaonom brzinom relacijom

v = ·r, (7)

Gdje rradijus ose klatna.

Tada će formula (6) poprimiti oblik:

2gh = v 2 (1+I/mr 2).

(8)

. (9)

A brzina translacionog kretanja klatna poprima sljedeće značenje: t Da bismo provjerili zakon održanja energije, izračunajmo brzinu na drugi nezavisan način, koristeći poznate kinematičke odnose. Pošto je kretanje klatna jednoliko ubrzano, onda ako je tokom pada h klatno je prošlo svoj put

, njegovo ubrzanje je jednako

a = 2h/t2. (10)

v Otuda brzina translacionog kretanja klatna na kraju puta:

= a t = 2h/t. (11)

Brzina u (9) ovisi o momentu inercije klatna, koji se može promijeniti postavljanjem različitih prstenova na disk. Moment inercije klatna je definisan kao

Gdje I 0 I = I 0 + I D + I K. (12)

- moment inercije ose,

- moment inercije diska,

- moment inercije prstena, R , - moment inercije prstena, D TO

- radijusi diska i prstena.

Radijus prstena se uzima kao prosječna vrijednost između unutrašnjeg i vanjskog radijusa. Budući da je polumjer ose klatna mnogo manji od polumjera diska, moment inercije ose se može zanemariti.

Logički dijagram metode.

Ako je brzina određena iz zakona održanja energije prema relaciji (9) jednaka brzini određenoj kinematički prema formuli (11), to potvrđuje očuvanje energije za odabrani sistem.

OBAVLJANJE POSLA

1. Izmjerite vrijeme pada klatna sa jednim od prstenova koje je nastavnik pokazao.

2. Ponovite mjerenja 5-10 puta.

3. Izmjerite visinu pada i visinu podizanja klatna.

4. Pomoću čeljusti izmjerite prečnik ose klatna, unutrašnji i spoljašnji prečnik prstena.

REZULTATI OBRADE 1. Izračunajte prosječno vrijeme pada  t.

i statističku grešku mjerenja 1 2. Izračunajte brzinu v

prema relaciji (11).  3. Izračunajte grešku mjerenja brzine 1 v

prema pravilu za izračunavanje greške za indirektna mjerenja.

4. Izračunati moment inercije klatna sa prstenom. Na njima su označene mase diska i prstena. 2 5. Izračunajte brzinu klatna v

prema relaciji (9).  = ( 3. Izračunajte grešku mjerenja brzine 1 - 3. Izračunajte grešku mjerenja brzine 2 )/ 3. Izračunajte grešku mjerenja brzine 1 6. Odredite mjeru neslaganja i uporedi sa relativnom greškom 1 =  3. Izračunajte grešku mjerenja brzine 1 / 3. Izračunajte grešku mjerenja brzine 1 .

v

Odredite gubitak energije razlikom između visine pada i naknadne visine podizanja klatna.

Izračunajte prosječnu efektivnu silu trenja koja stvara gubitak energije.

PITANJA ZA KONTAKT

1. Koje vrste mehaničke energije postoje? Dajte njihove definicije.

2. Formulisati zakon održanja mehaničke energije sistema i uslove za njegovu implementaciju.

3. Opišite transformaciju energije za Maxwellovo klatno.

4. Koliki je moment inercije tijela? Koliki je moment inercije diska ili prstena?

5. Kako se određuje brzina translacionog kretanja Maksvelovog klatna?

Osnovni koncepti: prigušene oscilacije, slobodne oscilacije, neprigušene oscilacije, prisilne oscilacije, samooscilacije.

Ukupna mehanička energija klatna E je zbir njegovih potencijalnih E p = mgh i kinetičke E k = mυ 2 /2 energija:

E = E p + E k = mgh + mυ 2 /2. (1)

Slika 1 shematski prikazuje transformaciju potencijalne energije matematičkog klatna u kinetičku energiju i obrnuto.

Fig.1. Transformacija energije pri oscilatornom kretanju matematičkog klatna.

Kada se klatno nalazi u tački A (tačka u kojoj je pomak klatna iz ravnotežnog položaja maksimalan), tada je njegova kinetička energija jednaka minimalnoj moguće značenje- nula - E k min = 0, a potencijalna energija je maksimalna i jednaka E p max = mgh max. Dakle, ukupna mehanička energija klatna u t.A u skladu sa (1) jednaka je:

U tački A: E = E p max + E k min = mgh max + 0 = mgh max.

Kada je klatno u bilo kojoj međutački između tačaka A (tačka u kojoj je pomak klatna iz ravnotežnog položaja maksimalan) i O (ravnotežni položaj), tada je njegova ukupna mehanička energija E u skladu sa (1) jednaka :

U međutačkama: E = E p + E k = mgh + mυ 2 /2,

E p i E k poprimaju neke međuvrijednosti veće od 0 i manje od maksimalne vrijednosti: E p = mgh< mgh max , Е к = mυ 2 /2 < mυ max 2 /2.

Kada klatno prođe tačku O (ravnotežni položaj), tada je njegova kinetička energija maksimalna i jednaka E k max = mυ max 2 /2, a potencijalna energija, zauzvrat, sada poprima nultu vrijednost E p = 0:

U tački O: E = E p min + E k max = 0 + mυ max 2 /2.

Dakle, moguće je stvoriti lanac transformacija jedne vrste energije u drugu kada se matematičko klatno kreće od jedne tačke do druge (slika 1):

tačka A -- tačka N -- tačka O -- tačka M -- tačka B --.....

E p max -- E p + E k -- E k max -- E' p + E' k -- E p max -- .....

E = E p + E k = mgh + mυ 2 /2 = E k max = mυ max 2 /2 = E p max = mgh max (2)

Za opružno klatno (slika 2), konverzija energije se odvija na sličan način.

Rice. 3. Samooscilirajući sistem.

Idite na sljedeću lekciju 34: Širenje oscilacija u mediju. Talasi.

Idi na bilješke za 9. razred.

Matematičko klatno naziva se malo tijelo okačeno na tanku nerastegljivu nit, čija je masa zanemarljiva u odnosu na masu tijela. U ravnotežnom položaju, kada klatno visi na visini, sila gravitacije je uravnotežena silom zatezanja niti. F τ = - mg sin φ (slika 2.3.1). Znak minus u ovoj formuli znači da je tangencijalna komponenta usmjerena u smjeru suprotnom od otklona klatna.

Ako označimo sa x linearni pomak klatna iz ravnotežnog položaja duž luka kružnice polumjera l, tada će njegov kutni pomak biti jednak φ = x / l. Drugi Newtonov zakon, napisan za projekcije vektora ubrzanja i sile na smjer tangente, daje:

Ovaj odnos pokazuje da je matematičko klatno kompleks nelinearni sistema, jer sila koja teži da vrati klatno u ravnotežni položaj nije proporcionalna pomaku x, A

Samo u slučajumale fluktuacije , kada otprilikemože se zamijeniti samatematičko klatno je harmonijski oscilator, tj. sistem sposoban da izvodi harmonijske oscilacije. U praksi, ova aproksimacija vrijedi za uglove reda veličine 15-20°; u ovom slučaju, vrijednost se razlikuje od najviše 2%. Oscilacije klatna pri velikim amplitudama nisu harmonijske.

Za male oscilacije matematičkog klatna, Newtonov drugi zakon se zapisuje kao

Dakle, tangencijalno ubrzanje aτ klatna je proporcionalno njegovom pomaku x, uzeti sa suprotnim predznakom. To je upravo uslov pod kojim je sistem harmonijski oscilator. By opšte pravilo za sve sisteme koji mogu izvoditi slobodne harmonijske oscilacije, modul koeficijenta proporcionalnosti između ubrzanja i pomaka iz ravnotežnog položaja jednak je kvadratu kružne frekvencije:

Ova formula izražava prirodna frekvencija malih oscilacija matematičkog klatna .

dakle,

Svako tijelo postavljeno na horizontalnu os rotacije sposobno je za slobodne oscilacije u gravitacionom polju i stoga je također klatno. Takvo klatno se obično naziva fizički (Slika 2.3.2). Od matematičkog se razlikuje samo po raspodjeli masa. U stabilnom ravnotežnom položaju, centar mase C fizičko klatno se nalazi ispod ose rotacije O na vertikali koja prolazi kroz osu. Kada se klatno skrene za ugao φ, javlja se moment gravitacije koji teži da vrati klatno u ravnotežni položaj:

M = -(mg sinφ) d.

Evo d- udaljenost između ose rotacije i centra mase C.

Slika 2.3.2. Fizičko klatno

Znak minus u ovoj formuli, kao i obično, znači da moment sile teži da zarotira klatno u smjeru suprotnom od njegovog odstupanja od ravnotežnog položaja. Kao u slučaju matematičkog klatna, povratni trenutak M proporcionalan To znači da je samo pod malim uglovima, kada, fizičko klatno sposobno da izvodi slobodne harmonijske oscilacije. U slučaju malih fluktuacija

a drugi Newtonov zakon za fizičko klatno poprima oblik

gdje je ε ugaono ubrzanje klatna, I- moment inercije klatna u odnosu na osu rotacije O. Modul koeficijenta proporcionalnosti između ubrzanja i pomaka jednak je kvadratu kružne frekvencije:

Ovdje ω 0 - prirodna frekvencija malih oscilacija fizičkog klatna .

dakle,

Rigoroznije izvođenje formula za ω 0 i T može se učiniti ako uzmemo u obzir matematički odnos između kutnog ubrzanja i kutnog pomaka: kutno ubrzanje ε je drugi izvod kutnog pomaka φ u odnosu na vrijeme:

Stoga se jednadžba koja izražava drugi Newtonov zakon za fizičko klatno može napisati u obliku

Ovo je jednadžba slobodnih harmonijskih vibracija.

Koeficijent u ovoj jednačini ima značenje kvadrata kružne frekvencije slobodnih harmonijskih oscilacija fizičkog klatna.

Prema teoremi o paralelnom prevođenju ose rotacije (Steinerova teorema), moment inercije I može se izraziti kroz moment inercije IC u odnosu na osu koja prolazi kroz centar mase C klatno i paralelna os rotacije:

Konačno, za kružnu frekvenciju ω 0 slobodnih oscilacija fizičkog klatna dobija se sljedeći izraz:

WITHscreenshotpotragao definicijitoplanete

Definicija

Matematičko klatno- ovo je oscilatorni sistem, koji je poseban slučaj fizičkog klatna, čija je cijela masa koncentrisana u jednoj tački, centru mase klatna.

Obično se matematičko klatno predstavlja kao lopta okačena na dugačku bestežinsku i nerastegljivu nit. Ovo je idealizovan sistem koji vrši harmonijske oscilacije pod uticajem gravitacije. Dobra aproksimacija matematičkom klatnu je ogromna mala lopta koja oscilira na tankoj dugoj niti.

Galileo je bio prvi koji je proučavao svojstva matematičkog klatna ispitujući njihanje lustera na dugačkom lancu. Otkrio je da period oscilovanja matematičkog klatna ne zavisi od amplitude. Ako se pri pokretanju klatna skrene pod različitim malim uglovima, tada će se njegove oscilacije pojaviti s istim periodom, ali različitim amplitudama. Ovo svojstvo se naziva izohronizam.

Jednačina kretanja matematičkog klatna

Matematičko klatno je klasičan primjer harmonijskog oscilatora. Izvodi harmonijske oscilacije koje su opisane diferencijalnom jednadžbom:

\[\ddot(\varphi )+(\omega )^2_0\varphi =0\ \lijevo(1\desno),\]

gdje je $\varphi $ ugao odstupanja niti (ovjesa) od ravnotežnog položaja.

Rješenje jednadžbe (1) je funkcija $\varphi (t):$

\[\varphi (t)=(\varphi )_0(\cos \left((\omega )_0t+\alpha \right)\left(2\right),\ )\]

gdje je $\alpha $ početna faza oscilacija; $(\varphi )_0$ - amplituda oscilacija; $(\omega )_0$ - ciklična frekvencija.

Oscilacije harmonijskog oscilatora su važan primjer periodičnog kretanja. Oscilator služi kao model u mnogim problemima klasične i kvantne mehanike.

Ciklična frekvencija i period oscilovanja matematičkog klatna

Ciklična frekvencija matematičkog klatna ovisi samo o dužini njegovog ovjesa:

\[\ (\omega )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\lijevo(3\desno).\]

Period oscilacije matematičkog klatna ($T$) u ovom slučaju je jednak:

Izraz (4) pokazuje da period matematičkog klatna zavisi samo od dužine njegovog ovjesa (udaljenost od tačke ovjesa do težišta tereta) i od ubrzanja gravitacije.

Energetska jednadžba za matematičko klatno

Kada se razmatraju oscilacije mehaničkih sistema sa jednim stepenom slobode, oni često za polaznu tačku uzimaju ne Newtonove jednačine kretanja, već energetsku jednačinu. Pošto je lakše sastaviti, a radi se o jednadžbi prvog reda u vremenu. Pretpostavimo da u sistemu nema trenja. Zapisujemo zakon održanja energije za matematičko klatno koje vrši slobodne oscilacije (male oscilacije) kao:

gdje je $E_k$ kinetička energija klatna; $E_p$ je potencijalna energija klatna; $v$ je brzina klatna; $x$ je linearni pomak težine klatna iz ravnotežnog položaja duž kružnog luka poluprečnika $l$, dok je ugao - pomak povezan sa $x$ kao:

\[\varphi =\frac(x)(l)\left(6\right).\]

Maksimalna vrijednost potencijalne energije matematičkog klatna je:

Maksimalna vrijednost kinetičke energije:

gdje je $h_m$ maksimalna visina klatna; $x_m$ je maksimalno odstupanje klatna od ravnotežnog položaja; $v_m=(\omega )_0x_m$ - maksimalna brzina.

Primjeri problema sa rješenjima

Primjer 1

Vježbajte. Kolika je maksimalna visina podizanja lopte matematičkog klatna ako je njegova brzina kretanja pri prolasku kroz ravnotežni položaj bila $v$?

Rješenje. Hajde da napravimo crtež.

Neka je potencijalna energija lopte nula u njenoj ravnotežnoj poziciji (tačka 0). U tački maksimalnog uspona lopte iznad ravnotežnog položaja (tačka A), brzina lopte je nula, potencijalna energija je maksimalna. Zapišimo zakon održanja energije za razmatrana dva položaja lopte:

\[\frac(mv^2)(2)=mgh\ \lijevo(1.1\desno).\]

Iz jednačine (1.1) nalazimo traženu visinu:

Odgovori.$h=\frac(v^2)(2g)$

Primjer 2

Vježbajte. Koliko je ubrzanje gravitacije ako matematičko klatno dužine $l=1\ m$ oscilira s periodom jednakim $T=2\ s$? Smatrajte da su oscilacije matematičkog klatna male.\textit()

Rješenje. Kao osnovu za rješavanje problema uzimamo formulu za izračunavanje perioda malih oscilacija:

Izrazimo ubrzanje iz njega:

Izračunajmo ubrzanje zbog gravitacije:

Odgovori.$g=9,87\ \frac(m)(s^2)$